Um pedaço de Ontário que tem
foi carregado de modo que as tensões principais
e
guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule ,
de acordo com von Mises
Calcule ,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante para a resolução):
- A tensão de escoamento (yield) do material é
. - As três tensões principais seguem a proporção
Ou seja, existe um fator de escala tal que - O carregamento foi aumentado até ocorrer deformação plástica, ou seja, até que a tensão equivalente de von Mises atinja
. - O que pede o problema: calcular
“de acordo com von Mises” (ou seja, considerando que o estado de tensões chegou ao escoamento regido pelo critério de von Mises).
Passo 2
Escolha do método e conceitos que usarei (explicando-os de forma didática):
- Critério de von Mises: para um estado triaxial de tensões principais
a tensão equivalente de von Mises é O escoamento começa quando . - Lei de Hooke tridimensional (material elástico, isotrópico) para as deformações principais
:
onde
é o módulo de Young e
é o coeficiente de Poisson. Aqui cada variável significa:
-
: deformações principais (variação relativa de comprimento). -
: tensões principais. -
: rigidez do material (módulo de Young). -
: relação entre deformação lateral e axial (Poisson). - Observação importante: a razão
pode ser obtida diretamente dividindo as expressões acima; note que cancela e a razão depende apenas de e das tensões relativas (ou seja, do fator de proporção entre e ). Portanto não é necessário conhecer o valor de nem calcular explicitamente para obter . Ainda assim, como o enunciado menciona o escoamento de acordo com von Mises, vou mostrar rapidamente que o fator pode ser obtido com von Mises (mas isso não altera a razão das deformações).
Passo 3
Determinar o fator de escala
(mostro isso só para completar a ideia do critério de von Mises; mais adiante veremos que ele cancela na razão das deformações).
- Aplique von Mises com
: Calcule as diferenças: Substituindo: Somando: No escoamento , portanto (isto fornece as tensões absolutas no estado de escoamento, por exemplo , ).
Observação: este passo confirmou que o estado realmente alcança escoamento para algum, mas não é necessário para a razão das deformações.
Passo 4
Determinar a expressão de
em função de
(e das proporções dadas).
- Usando as equações de Hooke e
: Dividindo, - Substituindo
e (o cancela): Portanto depende apenas de , e não de , de ou de .
Passo 5
Escolha de
e cálculo numérico (explicando a escolha):
O enunciado não fornece o coeficiente de Poisson . Em problemas de materiais metálicos é comum usar um valor típico
quando nenhum outro dado é fornecido. Vou usar
e mostrar o resultado; se houver outro valor de
específico para o material, basta substituir na expressão do Passo 4.
O enunciado não fornece o coeficiente de Poisson
- Substituindo
na expressão: - Calculando:
Interpretação rápida: o sinal negativo significa que tem sentido oposto a (por exemplo, se for alongamento, será contraído), o que é físico quando é significativamente maior que e é positivo.