Um pedaço de Ontário que tem Y=700 \mathrm{Mpa} foi carregado de modo que as tensões principais \left(\sigma_{x}, \sigma_{y}\right. e \left.\sigma_{z}\right) guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule , \rho=\varepsilon_{y} / \varepsilon_{x} de acordo com von Mises

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é relevante para a resolução):
  • A tensão de escoamento (yield) do material é Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
  • As três tensões principais seguem a proporção \sigma_x:\sigma_y:\sigma_z = 1{,}25:0{,}25:0.Ou seja, existe um fator de escala k tal que \sigma_x = 1{,}25\,k,\qquad \sigma_y = 0{,}25\,k,\qquad \sigma_z = 0.
  • O carregamento foi aumentado até ocorrer deformação plástica, ou seja, até que a tensão equivalente de von Mises atinja Y.
  • O que pede o problema: calcular \rho=\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}“de acordo com von Mises” (ou seja, considerando que o estado de tensões chegou ao escoamento regido pelo critério de von Mises).

Passo 2

Escolha do método e conceitos que usarei (explicando-os de forma didática):
  • Critério de von Mises: para um estado triaxial de tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 a tensão equivalente de von Mises é \sigma_\text{eq}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\Big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\Big]}.O escoamento começa quando \sigma_\text{eq}=Y.
  • Lei de Hooke tridimensional (material elástico, isotrópico) para as deformações principais \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z: \varepsilon_x=\frac{1}{E}\big(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\big),
\varepsilon_y=\frac{1}{E}\big(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\big),
onde E é o módulo de Young e \nu é o coeficiente de Poisson. Aqui cada variável significa:
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z: deformações principais (variação relativa de comprimento).
  • \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z: tensões principais.
  • E: rigidez do material (módulo de Young).
  • \nu: relação entre deformação lateral e axial (Poisson).
  • Observação importante: a razão \rho=\varepsilon_y/\varepsilon_x pode ser obtida diretamente dividindo as expressões acima; note que E cancela e a razão depende apenas de \nu e das tensões relativas (ou seja, do fator de proporção entre \sigma_x e \sigma_y). Portanto não é necessário conhecer o valor de E nem calcular explicitamente k para obter \rho. Ainda assim, como o enunciado menciona o escoamento de acordo com von Mises, vou mostrar rapidamente que o fator k pode ser obtido com von Mises (mas isso não altera a razão das deformações).

Passo 3

Determinar o fator de escala k (mostro isso só para completar a ideia do critério de von Mises; mais adiante veremos que ele cancela na razão das deformações).
  • Aplique von Mises com \sigma_x=1{,}25k,\\ \sigma_y=0{,}25k,\\ \sigma_z=0: \sigma_\text{eq}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(1{,}25k-0{,}25k)^2+(0{,}25k-0)^2+(0-1{,}25k)^2\big]}.Calcule as diferenças: 1{,}25k-0{,}25k = 1{,}0k,\qquad 0{,}25k-0 = 0{,}25k,\qquad 0-1{,}25k = -1{,}25k.Substituindo: \sigma_\text{eq}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(1{,}0k)^2+(0{,}25k)^2+(-1{,}25k)^2\big]} =\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[1{,}0000k^2+0{,}0625k^2+1{,}5625k^2\big]}.Somando: \sigma_\text{eq}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}6250\,k^2}=\sqrt{1{,}3125\,k^2}= \sqrt{1{,}3125}\,k \approx 1{,}146423\,k.No escoamento \sigma_\text{eq}=Y, portanto k=\frac{Y}{\sqrt{1{,}3125}}\approx\frac{700}{1{,}146423}\\ \mathrm{MPa}\approx 610{,}6\\ \mathrm{MPa}.(isto fornece as tensões absolutas no estado de escoamento, por exemplo \sigma_x\approx 1{,}25\cdot610{,}6\approx 763{,}2\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y\approx 152{,}7\\ \mathrm{MPa}).
    Observação: este passo confirmou que o estado realmente alcança escoamento para algum k, mas não é necessário para a razão das deformações.

Passo 4

Determinar a expressão de \rho=\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} em função de \nu (e das proporções dadas).
  • Usando as equações de Hooke e \sigma_z=0: \varepsilon_x=\frac{1}{E}\big(\sigma_x-\nu\sigma_y\big), \qquad \varepsilon_y=\frac{1}{E}\big(\sigma_y-\nu\sigma_x\big).Dividindo, \rho=\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} =\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{\sigma_x-\nu\sigma_y}.
  • Substituindo \sigma_x=1{,}25k e \sigma_y=0{,}25k (o k cancela): \rho=\frac{0{,}25k-\nu\cdot 1{,}25k}{1{,}25k-\nu\cdot 0{,}25k} =\frac{0{,}25-1{,}25\nu}{1{,}25-0{,}25\nu}.Portanto \rho depende apenas de \nu, e não de E, de k ou de Y.

Passo 5

Escolha de \nu e cálculo numérico (explicando a escolha):
O enunciado não fornece o coeficiente de Poisson \nu. Em problemas de materiais metálicos é comum usar um valor típico \nu\approx 0{,}30 quando nenhum outro dado é fornecido. Vou usar \nu=0{,}30 e mostrar o resultado; se houver outro valor de \nu específico para o material, basta substituir na expressão do Passo 4.
  • Substituindo \nu=0{,}30 na expressão: \rho=\frac{0{,}25-1{,}25\cdot 0{,}30}{1{,}25-0{,}25\cdot 0{,}30} =\frac{0{,}25-0{,}375}{1{,}25-0{,}075} =\frac{-0{,}125}{1{,}175}.
  • Calculando: \rho\approx -0{,}125 / 1{,}175 \approx -0{,}1064.Interpretação rápida: o sinal negativo significa que \varepsilon_y tem sentido oposto a \varepsilon_x (por exemplo, se \varepsilon_x for alongamento, \varepsilon_y será contraído), o que é físico quando \sigma_x é significativamente maior que \sigma_y e \nu é positivo.

Resposta

\rho \approx -0{,}1064 (usando \nu=0{,}30; em geral \rho=\dfrac{0{,}25-1{,}25\nu}{1{,}25-0{,}25\nu}).

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