Um pedaço de Ontário que tem Y=700 \mathrm{Mpa} foi carregado de modo que as tensões principais \left(\sigma_{x}, \sigma_{y}\right. e \left.\sigma_{z}\right) guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule, \sigma_{X} de acordo com von Mises

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tensão de escoamento (limite de escoamento) Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
  • As três tensões principais estão na proporção 1{,}25:0{,}25:0.
  • As tensões foram aumentadas até ocorrer deformação plástica; portanto, no escoamento a tensão equivalente de von Mises atinge Y.
    O que o enunciado pede: calcular \sigma_X de acordo com o critério de von Mises. Adotarei que \sigma_X é a maior tensão principal (aquela correspondente ao fator 1{,}25 da proporção).

Passo 2

Explicando o critério de von Mises (aula rápida e prática).
  • O critério de von Mises diz que o escoamento começa quando a tensão equivalente de von Mises \sigma_{\mathrm{vm}} atinge a tensão de escoamento Y.
  • Para tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 a definição de \sigma_{\mathrm{vm}} é
\sigma_{\mathrm{vm}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • Aqui: \sigma_{\mathrm{vm}} é a tensão equivalente (em \mathrm{MPa}); \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais (também em \mathrm{MPa}). O critério de escoamento é
\sigma_{\mathrm{vm}} = Y.

Passo 3

Representar as tensões principais em função de um fator de escala k (pois só foi dada a proporção).
  • Definir
\sigma_1 = k\cdot 1{,}25,\qquad \sigma_2 = k\cdot 0{,}25,\qquad \sigma_3 = k\cdot 0 = 0.
  • Aqui k tem unidades de \mathrm{MPa} e é o fator que escala a proporção até o valor real das tensões. Quando ocorrer o escoamento, \sigma_{\mathrm{vm}}(k)=Y; então podemos resolver para k e daí obter \sigma_X=\sigma_1=1{,}25\,k.

Passo 4

Substituir \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 na expressão de \sigma_{\mathrm{vm}} e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule as diferenças:
\sigma_1-\sigma_2 = (1{,}25k)-(0{,}25k)=1{,}00k,
\sigma_2-\sigma_3 = 0{,}25k - 0 = 0{,}25k,
\sigma_3-\sigma_1 = 0-(1{,}25k) = -1{,}25k.
Agora os quadrados:
(\sigma_1-\sigma_2)^2 = (1{,}00k)^2 = 1{,}00\,k^2,
(\sigma_2-\sigma_3)^2 = (0{,}25k)^2 = 0{,}0625\,k^2,
(\sigma_3-\sigma_1)^2 = (-1{,}25k)^2 = 1{,}5625\,k^2.
Somando:
(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2 = \big(1{,}00+0{,}0625+1{,}5625\big)k^2 = 2{,}625\,k^2.
Aplicando o fator \tfrac{1}{2} e a raiz:
\sigma_{\mathrm{vm}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}625\,k^2} = \sqrt{1{,}3125\,k^2} = \sqrt{1{,}3125}\;k.
Podemos reescrever \sqrt{1{,}3125} = \dfrac{\sqrt{21}}{4} (porque 1{,}3125 = 21/16), então
\sigma_{\mathrm{vm}} = \frac{\sqrt{21}}{4}\,k.

Passo 5

Impor a condição de escoamento e resolver para k.
  • Pelo critério, \sigma_{\mathrm{vm}} = Y. Assim
\frac{\sqrt{21}}{4}\,k = Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
  • Isolando k:
k = \frac{4Y}{\sqrt{21}} = \frac{4\cdot 700}{\sqrt{21}} = \frac{2800}{\sqrt{21}}\\ \mathrm{MPa}.
  • Avaliando numericamente (usar vírgula nos decimais):
\sqrt{21}\approx 4{,}582575695\quad\Rightarrow\quad k \approx \frac{2800}{4{,}582575695}\approx 611{,}106\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Calcular \sigma_X=\sigma_1=1{,}25\,k e apresentar o resultado com unidade.
\sigma_X = 1{,}25\cdot k \approx 1{,}25\cdot 611{,}106 \approx 763{,}883\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais ou para inteiro) pode-se usar \sigma_X \approx 763{,}88\\ \mathrm{MPa} ou \sigma_X \approx 764\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_X \approx 763{,}88\\ \mathrm{MPa}

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