*5-28. The drive shaft
of an automobile is made of a steel having an allowable shear stress of
. If the outer diameter of the shaft is 62.5 mm and the engine delivers 165 kW to the shaft when it is turning at
, determine the minimum required thickness of the shaft’s wall.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a espessura mínima da parede do eixo oco
de modo que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse o valor admissível.
Dados fornecidos (pegar estes números do enunciado):
- tensão admissível:
. - diâmetro externo do eixo:
. - potência entregue ao eixo:
. - velocidade de rotação:
.
O objetivo final: encontrar a espessura mínima da parede
, onde
e
é o diâmetro interno do eixo oco.
Passo 2
Relação entre potência, torque e velocidade angular — fórmula e significado das variáveis.
A potência transmitida por um eixo é dada por
onde:
-
é a potência (em ), -
é o torque (momento torsor, em ), -
é a velocidade angular (em ).
A velocidade angular relaciona-se com a velocidade de rotação por
onde
é em
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
e o torque
.
Primeiro converter os dados para unidades SI:
Calcular
:
Calcular o torque
usando
:
Passo 4
Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco sob torção e definição das variáveis.
Para um eixo circular oco, a tensão de cisalhamento máxima é
onde:
-
é o raio externo ( ), -
é o momento polar de inércia da seção (segunda área polar), que para um tubo circular vale
com
o diâmetro interno.
Para garantir segurança igualando a tensão admissível ao valor extremo (caso limite), usamos
Vamos isolar
.
Passo 5
Álgebra para obter
e simplificação.
A partir de
multiplicando numerador e denominador,
Isolando
,
Portanto
Agora substituímos os valores numéricos. Note que
e
, o que simplifica muito a conta:
, logo a fração acima reduz para
. Assim
Calcular separadamente as parcelas:
Portanto
Passo 6
Extrair
a partir de
(raiz quarta), convertendo para milímetros.
Fazendo a raiz quarta (podemos tirar sucessivamente a raiz quadrada duas vezes):
Passo 7
Calcular a espessura mínima da parede
.
A espessura é
Como a questão pede a espessura mínima, este valor é o limite — na prática recomenda-se adotar um pouco mais por razões de fabricação e segurança, mas matematicamente a espessura mínima calculada é a acima.