*5-28. The drive shaft A B of an automobile is made of a steel having an allowable shear stress of \tau_{\text {allow }}=56 \mathrm{MPa}. If the outer diameter of the shaft is 62.5 mm and the engine delivers 165 kW to the shaft when it is turning at 1140 \mathrm{rev} / \mathrm{min}, determine the minimum required thickness of the shaft’s wall.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a espessura mínima da parede do eixo oco A B de modo que a tensão de cisalhamento máxima não ultrapasse o valor admissível.
Dados fornecidos (pegar estes números do enunciado):
  • tensão admissível: \tau_{\text{allow}}=56\\ \mathrm{MPa}.
  • diâmetro externo do eixo: d_o=62,5\\ \mathrm{mm}.
  • potência entregue ao eixo: P=165\\ \mathrm{kW}.
  • velocidade de rotação: n=1140\\ \mathrm{rev/min}.
O objetivo final: encontrar a espessura mínima da parede t, onde t=(d_o-d_i)/2 e d_i é o diâmetro interno do eixo oco.

Passo 2

Relação entre potência, torque e velocidade angular — fórmula e significado das variáveis.
A potência transmitida por um eixo é dada por
P = T\,\omega,
onde:
  • P é a potência (em \mathrm{W}),
  • T é o torque (momento torsor, em \mathrm{N\cdot m}),
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
A velocidade angular relaciona-se com a velocidade de rotação por
\omega = 2\pi\frac{n}{60},
onde n é em \mathrm{rev/min}. Vamos calcular \omega.

Passo 3

Calcular \omega e o torque T.
Primeiro converter os dados para unidades SI:
d_o=62{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0625\\ \mathrm{m}, \qquad P=165\\ \mathrm{kW}=165000\\ \mathrm{W}, \qquad \tau_{\text{allow}}=56\\ \mathrm{MPa}=56\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular \omega:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1140}{60}=2\pi\cdot19=38\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx119{,}38\\ \mathrm{rad/s}.
Calcular o torque T usando T=P/\omega:
T=\frac{165000}{38\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx1382{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco sob torção e definição das variáveis.
Para um eixo circular oco, a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • c é o raio externo ( c=d_o/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção (segunda área polar), que para um tubo circular vale
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr),
com d_i o diâmetro interno.
Para garantir segurança igualando a tensão admissível ao valor extremo (caso limite), usamos
\tau_{\text{allow}}=\frac{T\,\tfrac{d_o}{2}}{\tfrac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr)}.
Vamos isolar d_i^{4}.

Passo 5

Álgebra para obter d_i^{4} e simplificação.
A partir de
\tau_{\text{allow}}=\frac{T\,\dfrac{d_o}{2}}{\dfrac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr)}
multiplicando numerador e denominador,
\tau_{\text{allow}}=\frac{16\,T\,d_o}{\pi\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr)}.
Isolando d_o^{4}-d_i^{4},
d_o^{4}-d_i^{4}=\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{allow}}}.
Portanto
d_i^{4}=d_o^{4}-\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{allow}}}.
Agora substituímos os valores numéricos. Note que d_o=0{,}0625\\ \mathrm{m} e 16\cdot d_o=16\cdot0{,}0625=1, o que simplifica muito a conta: 16\,d_o=1, logo a fração acima reduz para T/(\pi\tau_{\text{allow}}). Assim
d_i^{4}=d_o^{4}-\frac{T}{\pi\,\tau_{\text{allow}}}.
Calcular separadamente as parcelas:
d_o^{4}=(0{,}0625)^{4}=1{,}52587890625\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}\approx1{,}5259\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
\frac{T}{\pi\,\tau_{\text{allow}}}=\frac{1382{,}4}{\pi\cdot56\times10^{6}} \approx\frac{1382{,}4}{175{,}929{,}188{,}6}\approx7{,}8579\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.
Portanto
d_i^{4}\approx1{,}5259\times10^{-5}-7{,}8579\times10^{-6}=7{,}4010\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 6

Extrair d_i a partir de d_i^{4} (raiz quarta), convertendo para milímetros.
Fazendo a raiz quarta (podemos tirar sucessivamente a raiz quadrada duas vezes):
d_i=\bigl(7{,}4010\times10^{-6}\bigr)^{1/4}\approx0{,}05216\\ \mathrm{m}=52{,}16\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular a espessura mínima da parede t.
A espessura é
t=\frac{d_o-d_i}{2}=\frac{62{,}5-52{,}16}{2}\\ \mathrm{mm}=\frac{10{,}34}{2}\\ \mathrm{mm}\approx5{,}17\\ \mathrm{mm}.
Como a questão pede a espessura mínima, este valor é o limite — na prática recomenda-se adotar um pouco mais por razões de fabricação e segurança, mas matematicamente a espessura mínima calculada é a acima.

Resposta

t\approx5{,}17\\ \mathrm{mm}

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