The motor delivers a torque of
to the shaft
. This torque is transmitted to shaft
using the gears at
and
. Determine the equilibrium torque
on shaft
and the maximum shear stress in each shaft. The bearings
, and
allow free rotation of the shafts.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o torque de equilíbrio
no eixo (torque de saída). - Determinar a tensão cortante máxima em cada eixo (motor
, eixo intermediário que sustenta a engrenagem grande, e eixo ).
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura):
- Torque aplicado pelo motor no eixo
: . - Diâmetro da pequena engrenagem (pinhão) que está no eixo do motor (ponto
): . - Diâmetro do eixo do motor
(peguei este valor próximo ao pinhão): . - Diâmetro da engrenagem grande (ponto
) montada no eixo intermediário: . - Diâmetro do eixo de saída
(e do pinhão que engrena com a engrenagem grande, conforme figura): . - Os rolamentos em
, e permitem rotação livre (logo não há momentos adicionais além dos torques transmitidos pelas engrenagens).
Nota sobre uma ambiguidade: a figura não mostra explicitamente o diâmetro do eixo intermediário; para prosseguir assumi que o diâmetro do eixo intermediário é igual a
(mesmo valor do eixo do motor), pois isso é consistente com a representação esquemática. Vou indicar explicitamente essa suposição ao aplicar as fórmulas.
Passo 2
Entender como o torque é transmitido pelas engrenagens (idéia e fórmulas básicas).
- Quando duas engrenagens engrenam, a força tangencial
na linha de contato é a mesma para ambas as engrenagens (ação e reação). - Para uma engrenagem de raio
sujeita a um torque , a força tangencial na periferia é
onde
está em
e
em metros. Essa fórmula vem da definição
.
- Se uma engrenagem de raio
aplica em uma engrenagem de raio , o torque gerado na engrenagem de raio é
Ou seja, o torque é escalado pela razão de raios (ou diâmetros).
- No nosso caso a engrenagem pequena do motor (diâmetro
) engrena com a engrenagem grande (diâmetro ) e essa engrenagem grande, no lado oposto, engrena com a engrenagem de saída (diâmetro ). A força tangencial transmitida pela engrenagem grande é a mesma em ambos os lados; portanto o torque de saída pode ser obtido relacionando diretamente os raios (ou diâmetros) das engrenagens de entrada e saída:
onde
e
. (Isto resulta porque o fator
da engrenagem grande cancela ao considerar a transmissão através dela.)
Passo 3
Cálculo do torque no eixo de saída
(conversão dos diâmetros em raios em metros e aplicação da fórmula).
- Converter diâmetros em raios (em metros):
- Aplicando a relação direta entre torques (conforme justificativa do passo anterior):
- Calcular numericamente:
Passo 4
Determinar o torque no eixo intermediário (engrenagem grande) — verificação de consistência.
- Alternativamente podemos calcular o torque que aparece na engrenagem grande (e, portanto, no eixo intermediário) como
onde
.
- Assim
- Checagem rápida: O torque de saída pode ser obtido também por
? — atenção: esse cálculo daria outro número se feita incorretamente; a razão é que a força tangencial é e essa mesma força gera e, na outra face, a mesma força gera . Se fizer obtém de fato . Portanto o resultado é consistente e igual a . (A conta direta com números dá o mesmo resultado; foi só uma observação do esquema de razões.) - Conclusão confirmada:
e .
Passo 5
Fórmula da tensão cortante máxima em um eixo circular maciço (aula curta).
- Para um eixo circular maciço submetido a um torque
, a tensão cortante máxima (na superfície) é dada por
onde:
-
é o torque aplicado (em ), -
é o raio externo do eixo (em m), isto é , -
é o momento polar de inércia da seção circular sólida: . - Substituindo
e resulta a fórmula prática muito utilizada:
- Explicação rápida dos símbolos:
é o diâmetro do eixo em metros; em ; resultará em pascals ( ). Para obter divide-se por .
Passo 6
Aplicar a fórmula para o eixo do motor
.
- Dados para
: e . - Aplicando
- Calcular numericamente:
Passo 7
Aplicar a fórmula para o eixo intermediário (engrenagem grande).
- Dados para o eixo intermediário:
e (pela suposição indicada) . - Aplicando
- Calcular numericamente:
Passo 8
Aplicar a fórmula para o eixo de saída
.
- Dados para
: e . - Aplicando
- Calcular numericamente:
Passo 9
Interpretação final e observações úteis (animação e dica para a prova).
- O eixo intermediário (que sustenta a engrenagem grande) é o que sofre maior torque e, consequentemente, a maior tensão cortante máxima — é o mais crítico neste arranjo.
- Em prova: identifique primeiro a trajetória do torque pela engrenagem (quem engrena com quem), calcule a força tangencial básica
se preferir, ou utilize diretamente as razões de raios/diâmetros para escala de torques; em seguida aplique para eixos maciços.