The motor delivers a torque of 50 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} to the shaft A B. This torque is transmitted to shaft C D using the gears at E and F. Determine the equilibrium torque \mathbf{T}^{\prime} on shaft C D and the maximum shear stress in each shaft. The bearings B, C, and D allow free rotation of the shafts.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o torque de equilíbrio \mathbf{T}' no eixo C D (torque de saída).
  • Determinar a tensão cortante máxima em cada eixo (motor A B, eixo intermediário que sustenta a engrenagem grande, e eixo C D).
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura):
  • Torque aplicado pelo motor no eixo A B: 50\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Diâmetro da pequena engrenagem (pinhão) que está no eixo do motor (ponto E): 50\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro do eixo do motor A B (peguei este valor próximo ao pinhão): 30\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da engrenagem grande (ponto F) montada no eixo intermediário: 125\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro do eixo de saída C D (e do pinhão que engrena com a engrenagem grande, conforme figura): 35\\ \mathrm{mm}.
  • Os rolamentos em B, C e D permitem rotação livre (logo não há momentos adicionais além dos torques transmitidos pelas engrenagens).
Nota sobre uma ambiguidade: a figura não mostra explicitamente o diâmetro do eixo intermediário; para prosseguir assumi que o diâmetro do eixo intermediário é igual a 30\\ \mathrm{mm} (mesmo valor do eixo do motor), pois isso é consistente com a representação esquemática. Vou indicar explicitamente essa suposição ao aplicar as fórmulas.

Passo 2

Entender como o torque é transmitido pelas engrenagens (idéia e fórmulas básicas).
  • Quando duas engrenagens engrenam, a força tangencial F_t na linha de contato é a mesma para ambas as engrenagens (ação e reação).
  • Para uma engrenagem de raio \,r\, sujeita a um torque T, a força tangencial na periferia é
F_t=\frac{T}{r},
onde T está em \mathrm{N\cdot m} e r em metros. Essa fórmula vem da definição T=F_t\cdot r.
  • Se uma engrenagem de raio r_1 aplica F_t em uma engrenagem de raio R, o torque gerado na engrenagem de raio R é
T_{R}=F_t\cdot R=\frac{T_{r_1}}{r_1}\,R = T_{r_1}\,\frac{R}{r_1}.
Ou seja, o torque é escalado pela razão de raios (ou diâmetros).
  • No nosso caso a engrenagem pequena do motor (diâmetro d_1=50\\ \mathrm{mm}) engrena com a engrenagem grande (diâmetro D=125\\ \mathrm{mm}) e essa engrenagem grande, no lado oposto, engrena com a engrenagem de saída (diâmetro d_2=35\\ \mathrm{mm}). A força tangencial transmitida pela engrenagem grande é a mesma em ambos os lados; portanto o torque de saída pode ser obtido relacionando diretamente os raios (ou diâmetros) das engrenagens de entrada e saída:
T' = T_{\text{in}}\cdot\frac{r_{\text{out}}}{r_{\text{in}}},
onde r_{\text{in}}=\dfrac{d_1}{2} e r_{\text{out}}=\dfrac{d_2}{2}. (Isto resulta porque o fator R da engrenagem grande cancela ao considerar a transmissão através dela.)

Passo 3

Cálculo do torque no eixo de saída C D (conversão dos diâmetros em raios em metros e aplicação da fórmula).
  • Converter diâmetros em raios (em metros):
r_{\text{in}}=\frac{d_1}{2}=\frac{50\\ \text{mm}}{2}=25\\ \text{mm}=0,025\\ \text{m},
r_{\text{out}}=\frac{d_2}{2}=\frac{35\\ \text{mm}}{2}=17{,}5\\ \text{mm}=0,0175\\ \text{m}.
  • Aplicando a relação direta entre torques (conforme justificativa do passo anterior):
T' = T_{\text{motor}}\cdot\frac{r_{\text{out}}}{r_{\text{in}}} =50\\ \mathrm{N\cdot m}\cdot\frac{0{,}0175}{0{,}025}.
  • Calcular numericamente:
\frac{0{,}0175}{0{,}025}=0{,}7\quad\Rightarrow\quad T'=50\cdot 0{,}7=35\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Determinar o torque no eixo intermediário (engrenagem grande) — verificação de consistência.
  • Alternativamente podemos calcular o torque que aparece na engrenagem grande (e, portanto, no eixo intermediário) como
T_{\text{inter}} = T_{\text{motor}}\cdot\frac{R}{r_{\text{in}}},
onde R=\dfrac{D}{2}=\dfrac{125\\ \text{mm}}{2}=62{,}5\\ \text{mm}=0{,}0625\\ \text{m}.
  • Assim
T_{\text{inter}}=50\cdot\frac{0{,}0625}{0{,}025}=50\cdot 2{,}5=125\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Checagem rápida: O torque de saída pode ser obtido também por T'=T_{\text{inter}}\cdot\frac{r_{\text{out}}}{R}=125\cdot\frac{0{,}0175}{0{,}0625}=125\cdot0{,}14=17{,}5? — atenção: esse cálculo daria outro número se feita incorretamente; a razão é que a força tangencial é F_t=T_{\text{motor}}/r_{\text{in}} e essa mesma força gera T_{\text{inter}}=F_t\cdot R e, na outra face, a mesma força gera T'=F_t\cdot r_{\text{out}}=T_{\text{motor}}\cdot(r_{\text{out}}/r_{\text{in}}). Se fizer T_{\text{inter}}\cdot(r_{\text{out}}/R) obtém de fato T_{\text{inter}}\cdot(r_{\text{out}}/R)=T_{\text{motor}}\,(R/r_{\text{in}})\,(r_{\text{out}}/R)=T_{\text{motor}}(r_{\text{out}}/r_{\text{in}})=T'. Portanto o resultado é consistente e igual a 35\\ \mathrm{N\cdot m}. (A conta direta com números dá o mesmo resultado; foi só uma observação do esquema de razões.)
  • Conclusão confirmada: T_{\text{inter}}=125\\ \mathrm{N\cdot m} e T'=35\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Fórmula da tensão cortante máxima em um eixo circular maciço (aula curta).
  • Para um eixo circular maciço submetido a um torque T, a tensão cortante máxima (na superfície) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (em \mathrm{N\cdot m}),
  • c é o raio externo do eixo (em m), isto é c=\dfrac{d}{2},
  • J é o momento polar de inércia da seção circular sólida: J=\dfrac{\pi d^4}{32}.
  • Substituindo c e J resulta a fórmula prática muito utilizada:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^3}.
  • Explicação rápida dos símbolos: d é o diâmetro do eixo em metros; T em \mathrm{N\cdot m}; \tau_{\max} resultará em pascals ( \mathrm{Pa}). Para obter \mathrm{MPa} divide-se por 10^6.

Passo 6

Aplicar a fórmula para o eixo do motor A B.
  • Dados para A B: T=50\\ \mathrm{N\cdot m} e d=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando
\tau_{\max,AB}=\frac{16\cdot 50}{\pi (0{,}03)^3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular numericamente:
(0{,}03)^3=0{,}000027,\quad \pi(0{,}03)^3\approx8{,}4823\times10^{-5},
\tau_{\max,AB}=\frac{800}{8{,}4823\times10^{-5}}\approx9{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=9{,}43\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Aplicar a fórmula para o eixo intermediário (engrenagem grande).
  • Dados para o eixo intermediário: T_{\text{inter}}=125\\ \mathrm{N\cdot m} e (pela suposição indicada) d=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando
\tau_{\max,\text{inter}}=\frac{16\cdot 125}{\pi (0{,}03)^3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular numericamente:
\tau_{\max,\text{inter}}=\frac{2000}{8{,}4823\times10^{-5}}\approx23{,}57\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=23{,}57\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Aplicar a fórmula para o eixo de saída C D.
  • Dados para C D: T'=35\\ \mathrm{N\cdot m} e d=35\\ \mathrm{mm}=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando
\tau_{\max,CD}=\frac{16\cdot 35}{\pi (0{,}035)^3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular numericamente:
(0{,}035)^3=0{,}000042875,\quad \pi(0{,}035)^3\approx1{,}3464\times10^{-4},
\tau_{\max,CD}=\frac{560}{1{,}3464\times10^{-4}}\approx4{,}16\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=4{,}16\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Interpretação final e observações úteis (animação e dica para a prova).
  • O eixo intermediário (que sustenta a engrenagem grande) é o que sofre maior torque e, consequentemente, a maior tensão cortante máxima — é o mais crítico neste arranjo.
  • Em prova: identifique primeiro a trajetória do torque pela engrenagem (quem engrena com quem), calcule a força tangencial básica F_t=T/r se preferir, ou utilize diretamente as razões de raios/diâmetros para escala de torques; em seguida aplique \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^3} para eixos maciços.

Resposta

T' = 35\\ \mathrm{N\cdot m}
\tau_{\max,AB}=9{,}43\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\max,\text{inter}}=23{,}57\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\max,CD}=4{,}16\\ \mathrm{MPa}

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