Um pedaço de Ontário que tem Y=700 \mathrm{Mpa} foi carregado de modo que as tensões principais \left(\sigma_{x}, \sigma_{y}\right. e \left.\sigma_{z}\right) guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule, \sigma_{X} de acordo com Tresca

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A resistência à escoamento (yield) do material é Y=700\\ \mathrm{MPa}.
  • As tensões principais \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z mantêm a proporção 1,25:0,25:0.
  • As tensões são aumentadas proporcionalmente até ocorrer deformação plástica (escoamento).
    O que se pede:
  • Calcular \sigma_X (a tensão principal correspondente ao fator 1,25) usando o critério de Tresca.

Passo 2

Explicando o critério de Tresca (de forma simples e prática):
  • Tresca diz que o escoamento ocorre quando a máxima tensão de cisalhamento atinge a tensão de cisalhamento de escoamento do ensaio uniaxial.
  • No caso uniaxial com \sigma_1=\sigma_y e \sigma_2=\sigma_3=0, a máxima tensão de cisalhamento é \tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_3)/2=\sigma_y/2. Por isso, a condição geral de Tresca pode ser escrita como
\max\{|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\} = \sigma_y.
  • Aqui \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais (a ordem não importa para a fórmula: toma-se as diferenças em módulo) e \sigma_y é a resistência à tração na qual o material escoa (no enunciado isso é Y). Em palavras: o maior intervalo entre duas tensões principais deve ser igual a Y.

Passo 3

Para tornar a coisa concreta, introduzo um fator de escala desconhecido k tal que as tensões reais sejam proporcionais às razões dadas. Ordenando de maior para menor:
\sigma_1 = k\cdot 1,25,\qquad \sigma_2 = k\cdot 0,25,\qquad \sigma_3 = k\cdot 0.
(Neste problema \sigma_1 corresponde a \sigma_X, a maior tensão principal.)

Passo 4

Calculo as diferenças entre pares de tensões principais para aplicar Tresca:
\sigma_1-\sigma_2 = k(1,25-0,25)=k\cdot 1,00,
\sigma_2-\sigma_3 = k(0,25-0)=k\cdot 0,25,
\sigma_1-\sigma_3 = k(1,25-0)=k\cdot 1,25.
A maior dessas diferenças é \sigma_1-\sigma_3 = k\cdot 1,25.

Passo 5

Aplicando o critério de Tresca (maior diferença = Y):
k\cdot 1,25 = Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
Resolve-se para k:
k = \frac{700}{1,25}.
Fazendo a conta (usar fração para ver clareza):
1,25=\frac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad k=700\cdot\frac{4}{5}=\frac{2800}{5}=560\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Finalmente, calculo \sigma_X=\sigma_1:
\sigma_X = k\cdot 1,25 = 560\cdot 1,25.
Convertendo:
1,25=\frac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad \sigma_X = 560\cdot\frac{5}{4}=\frac{2800}{4}=700\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação curta: sob Tresca, o escoamento ocorre quando a maior diferença entre tensões principais alcança 700\\ \mathrm{MPa}; como \sigma_3=0, isso implica que a maior tensão principal é exatamente 700\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_X = 700\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados