Um pedaço de Ontário que tem
foi carregado de modo que as tensões principais
e
guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule,
, de acordo com Tresca
Calcule,
Passo 1
O enunciado dá:
- Tensão de escoamento (yield) do material:
. - As tensões principais
guardam a proporção . Ou seja existem uma constante de escala tal que
- As tensões foram aumentadas até que ocorreu deformação plástica (ou seja, até o escoamento).
- Pede-se calcular
“de acordo com Tresca”.
Dados listados e objetivo claros: determinar a razão entre as deformações principais nas direções
e
no início do escoamento, usando a regra de escoamento de Tresca e a regra de fluxo associada (normalidade).
Passo 2
Lembrando a forma prática do critério de Tresca em termos das tensões principais: escoamento ocorre quando a maior diferença absoluta entre duas tensões principais atinge a tensão de escoamento
. Em fórmulas:
Aqui
são as tensões principais ordenadas; no nosso caso as proporções já indicam que
é a maior,
a intermédia e
a menor (zero). Substituindo com a escala
obtemos as diferenças:
A maior diferença é
. Pelo critério de Tresca, no escoamento essa diferença vale
, assim:
Logo a constante de escala vale
Passo 3
Com
encontrado, as tensões principais no instante do escoamento são:
Confirmando: a face ativa do critério Tresca é a face onde
é máxima; portanto a função de escoamento (no trecho relevante) pode ser escrita, até uma constante positiva, como
no ponto de escoamento (aqui
).
Passo 4
Agora vem a parte de plasticidade: para um fluxo plástico associada (regra normal), o vetor das taxas de deformação plástica é proporcional ao gradiente do potencial de escoamento (aqui igual ao gradiente do critério
). Ou seja, os incrementos de deformação plástica satisfazem
No trecho ativo
temos as derivadas parciais simples:
Portanto os incrementos (ou direções) das deformações plásticas principais obedecem à razão
Isto significa que, no início do escoamento quando a face
é a ativa, o incremento de deformação plástica na direção associada a
(a componente
neste problema) é nulo, enquanto
aumenta plasticamente e
tem incremento com sinal oposto.
Passo 5
Relacionando com a notação do enunciado:
corresponde a
(direção da maior tensão) e
corresponde a
(direção da tensão intermédia). Da razão de fluxo plástico obtemos então
Observação importante (para não ficar dúvida): este resultado refere-se à razão das deformações plásticas iniciais (direção do fluxo plástico) segundo a regra associada para o critério de Tresca. Se a pergunta pedisse a razão entre as deformações totais no instante do início do escoamento, seria necessário somar a parte elástica (que depende de
e
) — dados esses não foram fornecidos, portanto a resposta natural aqui é a razão do fluxo plástico.