Um pedaço de Ontário que tem Y=700 \mathrm{Mpa} foi carregado de modo que as tensões principais \left(\sigma_{x}, \sigma_{y}\right. e \left.\sigma_{z}\right) guardassem a proporção 1,25: 0.25: 0. As tensões foram aumentadas até que a deformação plástica ocorreu.
Calcule, \rho=\varepsilon_{y} / \varepsilon_{x}, de acordo com Tresca

Passo 1

O enunciado dá:
  • Tensão de escoamento (yield) do material: Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
  • As tensões principais \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z guardam a proporção \;1,25:0,25:0\;. Ou seja existem uma constante de escala s tal que
\sigma_x = 1,25\,s,\qquad \sigma_y = 0,25\,s,\qquad \sigma_z = 0.
  • As tensões foram aumentadas até que ocorreu deformação plástica (ou seja, até o escoamento).
  • Pede-se calcular \rho=\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} “de acordo com Tresca”.
Dados listados e objetivo claros: determinar a razão entre as deformações principais nas direções y e x no início do escoamento, usando a regra de escoamento de Tresca e a regra de fluxo associada (normalidade).

Passo 2

Lembrando a forma prática do critério de Tresca em termos das tensões principais: escoamento ocorre quando a maior diferença absoluta entre duas tensões principais atinge a tensão de escoamento Y. Em fórmulas:
\max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\,|\sigma_2-\sigma_3|,\,|\sigma_3-\sigma_1|\bigr)=Y.
Aqui \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais ordenadas; no nosso caso as proporções já indicam que \sigma_x é a maior, \sigma_y a intermédia e \sigma_z a menor (zero). Substituindo com a escala s obtemos as diferenças:
\sigma_x-\sigma_y = (1,25-0,25)s = 1,00\,s,
\sigma_y-\sigma_z = 0,25\,s,
\sigma_x-\sigma_z = 1,25\,s.
A maior diferença é \sigma_x-\sigma_z = 1,25\,s. Pelo critério de Tresca, no escoamento essa diferença vale Y, assim:
1,25\,s = Y = 700\\ \mathrm{MPa}.
Logo a constante de escala vale
s = \dfrac{700}{1,25} = 560\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Com s encontrado, as tensões principais no instante do escoamento são:
\sigma_x = 1,25\cdot 560 = 700\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_y = 0,25\cdot 560 = 140\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_z = 0.
Confirmando: a face ativa do critério Tresca é a face onde \sigma_x-\sigma_z é máxima; portanto a função de escoamento (no trecho relevante) pode ser escrita, até uma constante positiva, como
f(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)=\sigma_1-\sigma_3 - Y = 0
no ponto de escoamento (aqui \sigma_1=\sigma_x,\\ \sigma_2=\sigma_y,\\ \sigma_3=\sigma_z).

Passo 4

Agora vem a parte de plasticidade: para um fluxo plástico associada (regra normal), o vetor das taxas de deformação plástica é proporcional ao gradiente do potencial de escoamento (aqui igual ao gradiente do critério f). Ou seja, os incrementos de deformação plástica satisfazem
\delta\varepsilon^p_i \propto \dfrac{\partial f}{\partial \sigma_i}.
No trecho ativo f=\sigma_1-\sigma_3-Y temos as derivadas parciais simples:
\dfrac{\partial f}{\partial \sigma_1}=1,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial \sigma_2}=0,\qquad \dfrac{\partial f}{\partial \sigma_3}=-1.
Portanto os incrementos (ou direções) das deformações plásticas principais obedecem à razão
\delta\varepsilon^p_1 : \delta\varepsilon^p_2 : \delta\varepsilon^p_3 = 1 : 0 : -1.
Isto significa que, no início do escoamento quando a face \sigma_1-\sigma_3 é a ativa, o incremento de deformação plástica na direção associada a \sigma_2 (a componente \varepsilon_y neste problema) é nulo, enquanto \varepsilon_x aumenta plasticamente e \varepsilon_z tem incremento com sinal oposto.

Passo 5

Relacionando com a notação do enunciado: \varepsilon_x corresponde a \varepsilon^p_1 (direção da maior tensão) e \varepsilon_y corresponde a \varepsilon^p_2 (direção da tensão intermédia). Da razão de fluxo plástico obtemos então
\rho=\dfrac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}=\dfrac{\delta\varepsilon^p_2}{\delta\varepsilon^p_1}=0.
Observação importante (para não ficar dúvida): este resultado refere-se à razão das deformações plásticas iniciais (direção do fluxo plástico) segundo a regra associada para o critério de Tresca. Se a pergunta pedisse a razão entre as deformações totais no instante do início do escoamento, seria necessário somar a parte elástica (que depende de E e \nu) — dados esses não foram fornecidos, portanto a resposta natural aqui é a razão do fluxo plástico.

Resposta

\rho=0

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