Simplifique:
(d) \frac{p^{\gamma}(p q)^{\sigma}}{p^{2 \gamma+\sigma} q^{\sigma-2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão abaixo:
\frac{p^{\gamma}(p q)^{\sigma}}{p^{2 \gamma+\sigma} q^{\sigma-2}}.
Informações dadas que vamos usar: as letras p e q são as bases e \gamma e \sigma são expoentes. Para que todas as manipulações com potências e divisão façam sentido assumimos p\neq0 e q\neq0. O objetivo é reescrever a fração de forma mais simples, usando as regras de potência.

Passo 2

Regra que usamos primeiro: a potência de um produto. Para quaisquer números e expoentes válidos vale
(ab)^n = a^n b^n.
Aplicando a esta parte da expressão:
(p q)^{\sigma} = p^{\sigma} q^{\sigma}.

Passo 3

Substituindo essa igualdade na expressão original, o numerador fica
p^{\gamma}(p q)^{\sigma} = p^{\gamma}\cdot p^{\sigma} q^{\sigma}.
Agora usamos a regra do produto de potências com mesma base: para qualquer base a e expoentes m,n,
a^m a^n = a^{m+n}.
Aplicando ao fator em p do numerador:
p^{\gamma}\cdot p^{\sigma} = p^{\gamma+\sigma}.
Assim o numerador simplificado é
p^{\gamma+\sigma} q^{\sigma}.

Passo 4

Reescrevendo a fração com o numerador simplificado:
\frac{p^{\gamma+\sigma} q^{\sigma}}{p^{2\gamma+\sigma} q^{\sigma-2}}.
Agora usamos a regra do quociente de potências com mesma base: para a\neq0,
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
Aplicando separadamente às bases p e q:
Para p:
p^{(\gamma+\sigma)-(2\gamma+\sigma)} = p^{\gamma+\sigma-2\gamma-\sigma} = p^{-\gamma}.
Para q:
q^{\sigma-(\sigma-2)} = q^{\sigma-\sigma+2} = q^{2}.
Portanto a expressão fica
p^{-\gamma} q^{2}.

Passo 5

Regra do expoente negativo: para a\neq0 e n>0,
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.
Aplicando a isto em p^{-\gamma} obtemos a forma com expoentes positivos:
p^{-\gamma} q^{2} = \frac{q^{2}}{p^{\gamma}}.

Passo 6

(pequena verificação numérica para ver que faz sentido) Tomando um exemplo concreto, por exemplo p=2, q=3, \gamma=1, \sigma=2:
\text{original}=\frac{2^{1}(2\cdot3)^{2}}{2^{2\cdot1+2}\,3^{2-2}} = \frac{2\cdot 36}{2^{4}\cdot 3^{0}} = \frac{72}{16}=4{,}5.
Na forma simplificada:
\frac{q^{2}}{p^{\gamma}}=\frac{3^{2}}{2^{1}}=\frac{9}{2}=4{,}5.
Confere.

Resposta

\dfrac{q^{2}}{p^{\gamma}}

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