Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma segunda pedra é arremessada verticalmente para baixo 1,5 s após a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a água ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a água. © Faça os gráficos da posição x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t=0 o instante em que a primeira pedra foi largada.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma ponte a 50 m acima da água. A pedra 1 é largada (velocidade inicial zero) no instante t=0. A pedra 2 é arremessada verticalmente para baixo um tempo Des depois, e bate na água exatamente ao mesmo tempo que a pedra 1.
Conteúdo: cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade g).
O que precisamos:
  • Equação do movimento para queda livre: x(t)=v0,t+tfrac12,g,t^2
    - Equação da velocidade:
    v(t)=v0+g,t

Passo 2

Determinar o tempo total de queda da pedra 1.
Para a pedra 1 temos v0,1=0 e x=50,m (adotando para baixo direção positiva). Então:
50=0cdot t1+tfrac12,g,t1^2Longrightarrow t1^2=2cdot50g
Usando g=9,8,m/s²:
t1=raiz1009,8approx3,19 s

Passo 3

Calcular a velocidade inicial v0,2 da pedra 2.
A pedra 2 cai em tempo t2=t1-1,5approx3,19-1,5=1,69,s. Pelo mesmo deslocamento de 50 m:
50=v0,2,t2+tfrac12,g,t2^2
Isolando v0,2:
$$v_{0,2}=\frac{50-\tfrac12,g,t_2^2}{t_2}
=\frac{50-4{,}9,(1{,}69)^2}{1{,}69}
\approx21{,}2\ \mathrm{m/s}\ (\downarrow)$$

Passo 4

Determinar as velocidades ao atingir a água.
Para a pedra 1 (queda total t1):
v1f=v0,1+g,t1=0+9,8cdot3,19approx31,3 m/s (downarrow)
Para a pedra 2 (queda t2):
$$v_{2f}=v_{0,2}+g,t_2
=21{,}2+9{,}8\cdot1{,}69\approx37{,}8\ \mathrm{m/s}\ (\downarrow)$$

Passo 5

Esboço dos gráficos (tomando x=0 na ponte e t=0 na largada da pedra 1, direção positiva para baixo):
  1. Posição x versus t:
    • Pedra 1: x1(t)=tfrac12,g,t^2 cresce como parábola desde 0 até 50 m em t1.
    • Pedra 2: para 0<= t<1,5, x2(t)=0. Para t>=1,5, defina tau=t-1,5 e x2(t)=v0,2,tau+tfrac12,g,tau^2,, tauin[0,,t2]
      2) Velocidade v versus t:
      - Pedra 1: v1(t)=g,t, reta passando por 0 e atingindo v1f em t1.
      - Pedra 2: v2(t)=0 até t=1,5, depois para t>=1,5:
      v2(t)=v0,2+g,(t-1,5),

Resposta

(a) v0,2approx21,2 m/s (para baixo)
(b) v1fapprox31,3 m/s e v2fapprox37,8 m/s (ambas para baixo)
© Gráficos dados pelas funções:
  • x1(t)=tfrac12,g,t^2, v1(t)=g,t;
  • x2(t)=0,&t<1,5v0,2(t-1,5)+tfrac12,g,(t-1,5)^2,&t>=1,5,
    v2(t)=0,&t<1,5v0,2+g,(t-1,5),&t>=1,5.

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