Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma segunda pedra é arremessada verticalmente para baixo
após a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a água ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a água. © Faça os gráficos da posição
tempo e velocidade
tempo para cada pedra, considerando
o instante em que a primeira pedra foi largada.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma ponte a 50 m acima da água. A pedra 1 é largada (velocidade inicial zero) no instante
. A pedra 2 é arremessada verticalmente para baixo um tempo
s depois, e bate na água exatamente ao mesmo tempo que a pedra 1.
Conteúdo: cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade ).
O que precisamos:
Conteúdo: cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade
O que precisamos:
- Equação do movimento para queda livre:
- Equação da velocidade:
Passo 2
Determinar o tempo total de queda da pedra 1.
Para a pedra 1 temos e
m (adotando para baixo direção positiva). Então:
Para a pedra 1 temos
Usando
Passo 3
Calcular a velocidade inicial
da pedra 2.
A pedra 2 cai em tempo s. Pelo mesmo deslocamento de 50 m:
A pedra 2 cai em tempo
Isolando
$$v_{0,2}=\frac{50-\tfrac12,g,t_2^2}{t_2}
=\frac{50-4{,}9,(1{,}69)^2}{1{,}69}
\approx21{,}2\ \mathrm{m/s}\ (\downarrow)$$
Passo 4
Determinar as velocidades ao atingir a água.
Para a pedra 1 (queda total ):
Para a pedra 1 (queda total
Para a pedra 2 (queda
$$v_{2f}=v_{0,2}+g,t_2
=21{,}2+9{,}8\cdot1{,}69\approx37{,}8\ \mathrm{m/s}\ (\downarrow)$$
Passo 5
Esboço dos gráficos (tomando
na ponte e
na largada da pedra 1, direção positiva para baixo):
- Posição
versus : - Pedra 1:
cresce como parábola desde 0 até 50 m em . - Pedra 2: para
, . Para , defina e
2) Velocidadeversus :
- Pedra 1:, reta passando por 0 e atingindo em .
- Pedra 2:até , depois para :
- Pedra 1:
Resposta
(a)
(para baixo)
(b) e
(ambas para baixo)
© Gráficos dados pelas funções:
(b)
© Gráficos dados pelas funções:
-
, ; -
,
.