Um balão sobe com velocidade de 15 m / s e está a 100 m acima do solo quando dele se deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. © Faça os gráficos da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o movimento do saco de areia, desde o instante em que ele é solto até atingir o solo.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: um balão sobe com velocidade de 15 m/s e, quando está a 100 m do chão, largam um saco de areia. A gente precisa descobrir:
(a) quanto tempo o saco demora pra cair;
(b) qual é a velocidade dele quando atinge o solo;
© desenhar os gráficos de posição × tempo, velocidade × tempo e aceleração × tempo.
Isso faz parte de cinemática, mais especificamente do Movimento Uniformemente Variado (MUV). Para resolver, vamos usar as fórmulas básicas:
  • posição:
  • velocidade:
    e lembrar que a aceleração da gravidade é (com , negativo porque a gente escolhe pra cima como positivo).

Passo 2

Primeiro, define um referencial: eixo vertical com sentido positivo pra cima, e a origem no solo.
Aí, no instante (momento da soltura):
  • posição inicial ,
  • velocidade inicial ,
  • aceleração constante .

Passo 3

Agora a equação da posição é
x(t)=100 + 15,t - tfrac12cdot9,8,t^2 =100 + 15t - 4,9,t^2
Para achar o tempo de queda, a gente impõe 100 + 15t - 4,9,t^2 = 0 (o solo):
Isso é uma equação quadrática em .

Passo 4

Resolvendo a equação
4,9,t^2 - 15,t - 100 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
t = 15 pm raiz15^2 + 4cdot4,9cdot1002cdot4,9 = 15 pm raiz225 + 19609,8 = 15 pm raiz21859,8
A solução física (positiva) é
t = 15 + raiz21859,8approx6,3;s

Passo 5

Com esse tempo, a velocidade no instante de impacto é
v(t)=v0 + a,t = 15 - 9,8cdot6,3 approx -46,7;m/s
O sinal “–” mostra que o saco está se movendo pra baixo.

Passo 6

Os gráficos do movimento do saco, de até s, são:
  1. Posição × tempo:
    .
    É uma parábola voltada pra baixo, começando em e cruzando o eixo em .
  2. Velocidade × tempo:
    .
    É uma reta decrescente, partindo de m/s em até m/s em .
  3. Aceleração × tempo:
    .
    É uma linha horizontal constante em .

Resposta

(a)
(b) (para baixo)
©
(parábola)
(reta decrescente)
(constante)

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