Uma pedra com massa de 2 kg está presa a um fio de 1 m^{2} de comprimento, de massa desprezível, formando um pêndulo. O pêndulo oscila até um ângulo de 60^{\circ} com a vertical. Despreze a resistência do ar. a) Qual a velocidade da pedra quando ela passa pela posição vertical? b) Qual a tensão do fio quando a pedra passa pela posiçăo vertical? Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a) a velocidade da pedra quando ela passa pela posição vertical; b) a tensão do fio nessa mesma posição. Dados fornecidos (tudo escrito em formato matemático):
m=2\\ \mathrm{kg},\qquad L=1\\ \mathrm{m},\qquad \theta=60^\circ,\qquad g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação: interpretei o comprimento do fio como L=1\\ \mathrm{m} (o enunciado trazia 1\\ \mathrm{m}^2, que parece um erro de unidade). Não há resistência do ar e a massa do fio é desprezível. A pedra é solta/atinge a posição de máxima deflexão em \theta=60^\circ (logo, velocidade inicial na posição mais elevada é nula) e passa pela vertical na posição mais baixa.

Passo 2

Calcular a variação de altura \,h entre a posição inicial (ângulo \theta) e a posição vertical (ângulo 0^\circ). Geometricamente, a coordenada vertical do corpo em um ângulo \theta em relação à vertical é L\cos\theta. Portanto a queda vertical desde a posição inclinada até a vertical é
h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta).
Substituindo os valores e usando \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}:
h = 1\cdot\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m} = 0,5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Aplicar conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética, já que não há atrito nem resistência do ar). A energia potencial perdida mgh vira energia cinética \tfrac{1}{2}mv^2. Escrevendo e cancelando m:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2 g h}.
Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^2} e h=0,5\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{2\cdot 10\cdot 0,5} = \sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 3,162\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática rápida: a fórmula v=\sqrt{2gh} vem de igualar a energia potencial perdida com a energia cinética ganha; g é a aceleração da gravidade e h é a altura que o corpo desceu.

Passo 4

Calcular a tensão do fio na passagem pela vertical. Na posição vertical o corpo descreve um movimento circular de raio L com velocidade v horizontal, logo precisa de aceleração centrípeta apontando para o centro do círculo com módulo
a_c=\frac{v^2}{L}.
Fazendo o balanço de forças na direção radial (tomando positivo para cima, isto é, na direção do fio para o centro):
\text{Forças radiais: } T - mg = m a_c = m\frac{v^2}{L}.ç
Isolando T:
T = mg + m\frac{v^2}{L}.
Agora substituímos os valores já conhecidos: m=2\\ \mathrm{kg}, g=10\\ \mathrm{m/s^2}, L=1\\ \mathrm{m} e v^2=10\\ \mathrm{m^2/s^2} (pois v=\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}):
T = 2\cdot 10 + 2\cdot\frac{10}{1} = 20 + 20 = 40\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: a tensão tem duas contribuições — o peso mg (que deve ser sustentado) e a força adicional necessária para fornecer a aceleração centrípeta m v^2/L.

Passo 5

Verificação rápida de consistência: a velocidade encontrada é moderada ( \sim 3{,}16\\ \mathrm{m/s}) e a tensão 40\\ \mathrm{N} é o dobro do peso ( mg=20\\ \mathrm{N}), o que faz sentido porque a componente centrípeta adiciona mais carga no fio no ponto mais baixo.

Resposta

(a) v=\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 3,162\\ \mathrm{m/s}
(b) T=40\\ \mathrm{N}

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