Uma pedra com massa de 2 kg está presa a um fio de
de comprimento, de massa desprezível, formando um pêndulo. O pêndulo oscila até um ângulo de
com a vertical. Despreze a resistência do ar. a) Qual a velocidade da pedra quando ela passa pela posição vertical? b) Qual a tensão do fio quando a pedra passa pela posiçăo vertical? Considere
. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a) a velocidade da pedra quando ela passa pela posição vertical; b) a tensão do fio nessa mesma posição. Dados fornecidos (tudo escrito em formato matemático):
Observação: interpretei o comprimento do fio como
(o enunciado trazia
, que parece um erro de unidade). Não há resistência do ar e a massa do fio é desprezível. A pedra é solta/atinge a posição de máxima deflexão em
(logo, velocidade inicial na posição mais elevada é nula) e passa pela vertical na posição mais baixa.
Passo 2
Calcular a variação de altura
entre a posição inicial (ângulo
) e a posição vertical (ângulo
). Geometricamente, a coordenada vertical do corpo em um ângulo
em relação à vertical é
. Portanto a queda vertical desde a posição inclinada até a vertical é
Substituindo os valores e usando
:
Passo 3
Aplicar conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética, já que não há atrito nem resistência do ar). A energia potencial perdida
vira energia cinética
. Escrevendo e cancelando
:
Substituindo
e
:
Explicação didática rápida: a fórmula
vem de igualar a energia potencial perdida com a energia cinética ganha;
é a aceleração da gravidade e
é a altura que o corpo desceu.
Passo 4
Calcular a tensão do fio na passagem pela vertical. Na posição vertical o corpo descreve um movimento circular de raio
com velocidade
horizontal, logo precisa de aceleração centrípeta apontando para o centro do círculo com módulo
Fazendo o balanço de forças na direção radial (tomando positivo para cima, isto é, na direção do fio para o centro):
Isolando
:
Agora substituímos os valores já conhecidos:
,
,
e
(pois
):
Interpretação física: a tensão tem duas contribuições — o peso
(que deve ser sustentado) e a força adicional necessária para fornecer a aceleração centrípeta
.
Passo 5
Verificação rápida de consistência: a velocidade encontrada é moderada (
) e a tensão
é o dobro do peso (
), o que faz sentido porque a componente centrípeta adiciona mais carga no fio no ponto mais baixo.
Resposta
(a)
(b)
(b)