Uma menina com massa de 30 kg desliza em um tobogã. O comprimento do tobogá é igual a 10 m e faz um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. O coeficiente de atrito cinético €(\sqrt{3}) / 6, a) Determine o trabalho realizado pela força de atrito sobre a menina. b) Se a menina começa a escorregar no topo do tobogă com velocidade nula, qual será o módulo de sua velocidade na base? Resolva o item usando conceitos de trabalho e energia. Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o trabalho realizado pela força de atrito sobre a menina ao descer o tobogã.
  • (b) Se a menina começa do repouso no topo, determinar o módulo de sua velocidade na base usando conceitos de trabalho e energia.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • massa: m=30\\ \mathrm{kg}.
  • comprimento do plano inclinado: s=10\\ \mathrm{m}.
  • ângulo com a horizontal: \theta=30^\circ.
  • coeficiente de atrito cinético: \mu_k=\dfrac{\sqrt{3}}{6}.
  • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • velocidade inicial: v_0=0.

Passo 2

Primeiro vamos entender as forças que atuam na menina enquanto ela desliza pelo plano inclinado. Desenho mental: a força peso mg aponta para baixo (vertical). Essa força tem duas componentes relativas ao plano inclinado:
  • componente perpendicular ao plano: mg\cos\theta.
  • componente paralela ao plano (que puxa para baixo ao longo do plano): mg\sin\theta.
A força normal N é a reação do plano na direção perpendicular; em um plano sem aceleração perpendicular, temos igualdade de módulo entre normal e a componente perpendicular do peso:
N = mg\cos\theta.
Aqui explico por que: a soma das forças na direção perpendicular ao plano é zero (não há movimento nessa direção), então N - mg\cos\theta = 0, logo N = mg\cos\theta.

Passo 3

Calculemos numericamente a normal. Usando \theta=30^\circ e \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
N = mg\cos\theta = m g \frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo m=30 e g=10:
N = 30\cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

A força de atrito cinético tem módulo igual a \mu_k N e sua direção é contrária ao movimento (para cima do plano). Então o módulo da força de atrito é
f_k = \mu_k N = \mu_k (mg\cos\theta).
Agora substituímos \mu_k=\dfrac{\sqrt{3}}{6} e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Faça a simplificação passo a passo:
f_k = \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot mg\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6\cdot 2}\, mg = \frac{3}{12}\, mg = \frac{1}{4}\, mg.
Portanto, em termos numéricos:
f_k = \frac{1}{4}\, m g = \frac{1}{4}\cdot 30\cdot 10 = \frac{300}{4} = 75\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho realizado pela força de atrito enquanto a menina percorre todo o comprimento do tobogã s=10\\ \mathrm{m}. O trabalho da força de atrito é dado por
W_{\text{atrito}} = - f_k \, s,
onde o sinal negativo aparece porque a força de atrito é oposta ao deslocamento. Substituindo f_k=75\\ \mathrm{N} e s=10\\ \mathrm{m}:
W_{\text{atrito}} = -75\cdot 10 = -750\\ \mathrm{J}.
Esse é o resultado do item (a).

Passo 6

Para o item (b) vamos usar o teorema trabalho-energia (ou energia mecânica com perdas): a variação da energia cinética é igual ao trabalho total realizado por todas as forças que fazem trabalho não-conservativo e conservativo. Mais prático aqui é escrever:
K_f = K_i + W_{\text{grav}} + W_{\text{atrito}},
onde W_{\text{grav}} é o trabalho da gravidade ao descer do topo à base (positivo, pois a gravidade faz trabalho que aumenta a energia cinética) e W_{\text{atrito}} já calculado é negativo.
Como a menina começa do repouso, K_i=0. Precisamos de W_{\text{grav}}. O trabalho da gravidade ao descer uma altura h é
W_{\text{grav}} = mg h.
A altura h é a componente vertical do deslocamento ao longo do plano inclinado. Usando h = s\sin\theta e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}:
h = 10\cdot \sin30^\circ = 10\cdot \frac{1}{2} = 5\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calculemos o trabalho da gravidade:
W_{\text{grav}} = mg h = 30\cdot 10\cdot 5 = 1500\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Agora aplicamos a relação para a energia cinética final:
K_f = 0 + W_{\text{grav}} + W_{\text{atrito}} = 1500 + (-750) = 750\\ \mathrm{J}.
A energia cinética final também é \displaystyle K_f=\frac{1}{2} m v^2. Igualando,
\frac{1}{2} m v^2 = 750.
Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2\cdot 750}{m}} = \sqrt{\frac{1500}{30}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser uma aproximação numérica:
v \approx 7{,}07\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

-750\\ \mathrm{J}
v=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 7{,}07\\ \mathrm{m/s})

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