Uma menina com massa de 30 kg desliza em um tobogã. O comprimento do tobogá é igual a 10 m e faz um ângulo de
a horizontal. O coeficiente de atrito cinético
, a) Determine o trabalho realizado pela força de atrito sobre a menina. b) Se a menina começa a escorregar no topo do tobogă com velocidade nula, qual será o módulo de sua velocidade na base? Resolva o item usando conceitos de trabalho e energia. Considere
. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o trabalho realizado pela força de atrito sobre a menina ao descer o tobogã.
- (b) Se a menina começa do repouso no topo, determinar o módulo de sua velocidade na base usando conceitos de trabalho e energia.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
- massa:
. - comprimento do plano inclinado:
. - ângulo com a horizontal:
. - coeficiente de atrito cinético:
. - aceleração da gravidade:
. - velocidade inicial:
.
Passo 2
Primeiro vamos entender as forças que atuam na menina enquanto ela desliza pelo plano inclinado. Desenho mental: a força peso
aponta para baixo (vertical). Essa força tem duas componentes relativas ao plano inclinado:
- componente perpendicular ao plano:
. - componente paralela ao plano (que puxa para baixo ao longo do plano):
.
A força normal
é a reação do plano na direção perpendicular; em um plano sem aceleração perpendicular, temos igualdade de módulo entre normal e a componente perpendicular do peso:
Aqui explico por que: a soma das forças na direção perpendicular ao plano é zero (não há movimento nessa direção), então
, logo
.
Passo 3
Calculemos numericamente a normal. Usando
e
:
Substituindo
e
:
Passo 4
A força de atrito cinético tem módulo igual a
e sua direção é contrária ao movimento (para cima do plano). Então o módulo da força de atrito é
Agora substituímos
e
. Faça a simplificação passo a passo:
Portanto, em termos numéricos:
Passo 5
Agora calculamos o trabalho realizado pela força de atrito enquanto a menina percorre todo o comprimento do tobogã
. O trabalho da força de atrito é dado por
onde o sinal negativo aparece porque a força de atrito é oposta ao deslocamento. Substituindo
e
:
Esse é o resultado do item (a).
Passo 6
Para o item (b) vamos usar o teorema trabalho-energia (ou energia mecânica com perdas): a variação da energia cinética é igual ao trabalho total realizado por todas as forças que fazem trabalho não-conservativo e conservativo. Mais prático aqui é escrever:
onde
é o trabalho da gravidade ao descer do topo à base (positivo, pois a gravidade faz trabalho que aumenta a energia cinética) e
já calculado é negativo.
Como a menina começa do repouso,
. Precisamos de
. O trabalho da gravidade ao descer uma altura
é
A altura
é a componente vertical do deslocamento ao longo do plano inclinado. Usando
e
:
Passo 7
Calculemos o trabalho da gravidade:
Passo 8
Agora aplicamos a relação para a energia cinética final:
A energia cinética final também é
. Igualando,
Isolando
:
Se quiser uma aproximação numérica: