Um atleta gira um disco de 2,00 \mathrm{~kg} ao longo de uma trajetória circular de raio 1,06 \mathrm{~m}. A velocidade máxima do disco é 102 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine o módulo da aceleração radial máxima do disco.
a) 37,72 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) 377,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) 4890 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) 757,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
e) 67,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o módulo da aceleração radial máxima do disco quando sua velocidade máxima é atingida.
Informações dadas:
  • massa do disco: 2{,}00\\ \mathrm{kg} (dado do enunciado; não será necessária para a aceleração, mas está informada).
  • raio da trajetória circular: 1{,}06\\ \mathrm{m}.
  • velocidade máxima: 102\\ \mathrm{km/h}.
O que falta achar: o módulo da aceleração radial máxima (em \mathrm{m/s^{2}}) correspondente a v_{\max}=102\\ \mathrm{km/h}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A relação de conversão é
1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
v = 102\\ \mathrm{km/h} = 102 \times \frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos:
102 \times \frac{5}{18} = \frac{510}{18} = \frac{85}{3} \\ \mathrm{m/s} = 28{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a fórmula que liga velocidade e aceleração radial (também chamada aceleração centrípeta). A magnitude da aceleração radial numa trajetória circular é dada por
a_r = \frac{v^{2}}{r},
onde:
  • a_r é a aceleração radial (módulo) em \mathrm{m/s^{2}},
  • v é a velocidade tangencial em \mathrm{m/s},
  • r é o raio da trajetória em \mathrm{m}.
Observação didática rápida: essa fórmula mostra que a aceleração não depende da massa do objeto; a massa só entra se quisermos a força centrípeta F_c = m\,a_r = m \dfrac{v^2}{r}.

Passo 4

Calcular v^{2}. Usando v=\dfrac{85}{3}\\ \mathrm{m/s},
v^{2}=\left(\frac{85}{3}\right)^{2}=\frac{7225}{9}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\approx 802{,}777\ldots\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da aceleração radial:
a_r=\frac{v^{2}}{r}=\frac{\dfrac{7225}{9}}{1{,}06}=\frac{7225}{9\times 1{,}06}=\frac{7225}{9{,}54}.
Agora a divisão:
\frac{7225}{9{,}54}\approx 757{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto o módulo da aceleração radial máxima é aproximadamente 757{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

d) 757{,}3\\ \mathrm{m/s^{2}}

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