Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?
A) \frac{1}{4}
B) \frac{1}{3}
C) \frac{3}{8}
D) \frac{5}{12}
E) \frac{1}{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há quatro bolas com valores distintos desconhecidos e todas as ordens de sorteio são igualmente prováveis (sorteio sem reposição).
  • Pedro observa e descarta as duas primeiras bolas sorteadas (posições 1 e 2).
  • Ele olha a terceira bola (posição 3). Se ela for maior do que as duas primeiras, ele fica com ela; caso contrário, ele fica com a bola que restou (posição 4).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor (a maior entre as quatro)?
Informações relevantes listadas:
  • As quatro bolas têm valores distintos.
  • A ordem das quatro bolas é uma permutação aleatória e todas as permutações são igualmente prováveis.
  • O comportamento de escolha de Pedro depende somente das comparações entre as primeiras três bolas; a quarta só é escolhida quando a terceira não é maior que ambas as primeiras duas.

Passo 2

Modelo probabilístico e ideia geral da solução (sem ainda calcular):
  • Modelar as quatro posições como uma permutação aleatória das posições do valor máximo. Cada posição (1, 2, 3 ou 4) tem probabilidade igual de conter a bola máxima: \frac{1}{4} cada.
  • Condicionar o evento “Pedro pega a bola máxima” pela posição onde está o máximo. Ou seja, usar a lei da probabilidade total:
P(\text{pega máximo})=\sum_{k=1}^{4} P(\text{máximo em }k)\cdot P(\text{pega máximo}\mid \text{máximo em }k).áááá
  • Vamos calcular P(\text{pega máximo}\mid \text{máximo em }k)áá para cada k\in\{1,2,3,4\} e combinar.

Passo 3

Caso k=1 (máximo está na posição 1):
  • Pedro descarta a bola da posição 1 imediatamente (ele descarta as duas primeiras). Depois não há nenhum mecanismo que permita recuperar a posição 1.
  • Logo P(\text{pega máximo}\mid \text{máximo em }1)=0áá.
  • Como P(\text{máximo em }1)=\frac{1}{4}á, a contribuição desse caso para a soma é \frac{1}{4}\cdot 0=0.

Passo 4

Caso k=2 (máximo está na posição 2):
  • Mesmo raciocínio do caso anterior: Pedro descarta a posição 2; portanto não pode ficar com o máximo.
  • Logo P(\text{pega máximo}\mid \text{máximo em }2)=0áá.
  • Contribuição: \frac{1}{4}\cdot 0=0.

Passo 5

Caso k=3 (máximo está na posição 3):
  • Se a bola máxima está na posição 3, então a terceira bola é maior que as duas primeiras, porque é a maior de todas.
  • Pelo critério dado, Pedro verá que a terceira é maior que as duas primeiras e ficará com ela.
  • Portanto P(\text{pega máximo}\mid \text{máximo em }3)=1áá.
  • Contribuição: P(\text{máximo em }3)\cdot 1 = \frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{1}{4}á.

Passo 6

Caso k=4 (máximo está na posição 4):
  • Para que Pedro fique com a posição 4 (e tenha sucesso, já que ali está o máximo), é necessário que ele NÃO escolha a posição 3. Ele escolhe a posição 3 exatamente quando a terceira bola for maior do que as duas primeiras. Então, dado que o máximo está na posição 4, precisamos da probabilidade de que a bola da posição 3 não seja maior do que ambas as bolas nas posições 1 e 2.
  • Condição: “máximo está em 4” fixa que os valores restantes nas posições 1,2,3 são uma permutação dos três valores menores \{1,2,3\} (onde 3 aqui é o maior entre esses três). Todas as 3!\!=6 permutações são igualmente prováveis.
  • Em quantas dessas permutações a posição 3 tem o maior dentre os três (isto é, a bola na posição 3 é a maior entre as posições 1–3)? Para a posição 3 ser a maior entre os três, basta colocar o valor “3” em posição 3; as posições 1 e 2 recebem os valores \{1,2\} em qualquer ordem, dando 2 permutações.
  • Logo P(\text{posição 3 é maior entre 1–3}\mid \text{máximo em }4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}çãéá.
  • Então P(\text{posição 3 não é maior entre 1–3}\mid \text{máximo em }4)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}çããéá.
  • Isso significa que, dado que o máximo está na posição 4, a probabilidade de Pedro acabar escolhendo a posição 4 (e portanto pegar o máximo) é \dfrac{2}{3}.
  • Contribuição: P(\text{máximo em }4)\cdot \dfrac{2}{3} = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{6}á.

Passo 7

Somando as contribuições dos quatro casos pela fórmula da probabilidade total:
P(\text{pega máximo})=0+0+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}.á
Calculemos a soma com denominador comum 12:
\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}.

Resposta

D) \dfrac{5}{12}

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