Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Há quatro bolas com valores distintos desconhecidos e todas as ordens de sorteio são igualmente prováveis (sorteio sem reposição).
- Pedro observa e descarta as duas primeiras bolas sorteadas (posições 1 e 2).
- Ele olha a terceira bola (posição 3). Se ela for maior do que as duas primeiras, ele fica com ela; caso contrário, ele fica com a bola que restou (posição 4).
- Pergunta: qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor (a maior entre as quatro)?
Informações relevantes listadas:
- As quatro bolas têm valores distintos.
- A ordem das quatro bolas é uma permutação aleatória e todas as permutações são igualmente prováveis.
- O comportamento de escolha de Pedro depende somente das comparações entre as primeiras três bolas; a quarta só é escolhida quando a terceira não é maior que ambas as primeiras duas.
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia geral da solução (sem ainda calcular):
- Modelar as quatro posições como uma permutação aleatória das posições do valor máximo. Cada posição (1, 2, 3 ou 4) tem probabilidade igual de conter a bola máxima:
cada. - Condicionar o evento “Pedro pega a bola máxima” pela posição onde está o máximo. Ou seja, usar a lei da probabilidade total:
- Vamos calcular
para cada e combinar.
Passo 3
Caso
(máximo está na posição 1):
- Pedro descarta a bola da posição 1 imediatamente (ele descarta as duas primeiras). Depois não há nenhum mecanismo que permita recuperar a posição 1.
- Logo
. - Como
, a contribuição desse caso para a soma é .
Passo 4
Caso
(máximo está na posição 2):
- Mesmo raciocínio do caso anterior: Pedro descarta a posição 2; portanto não pode ficar com o máximo.
- Logo
. - Contribuição:
.
Passo 5
Caso
(máximo está na posição 3):
- Se a bola máxima está na posição 3, então a terceira bola é maior que as duas primeiras, porque é a maior de todas.
- Pelo critério dado, Pedro verá que a terceira é maior que as duas primeiras e ficará com ela.
- Portanto
. - Contribuição:
.
Passo 6
Caso
(máximo está na posição 4):
- Para que Pedro fique com a posição 4 (e tenha sucesso, já que ali está o máximo), é necessário que ele NÃO escolha a posição 3. Ele escolhe a posição 3 exatamente quando a terceira bola for maior do que as duas primeiras. Então, dado que o máximo está na posição 4, precisamos da probabilidade de que a bola da posição 3 não seja maior do que ambas as bolas nas posições 1 e 2.
- Condição: “máximo está em 4” fixa que os valores restantes nas posições 1,2,3 são uma permutação dos três valores menores
(onde aqui é o maior entre esses três). Todas as permutações são igualmente prováveis. - Em quantas dessas permutações a posição 3 tem o maior dentre os três (isto é, a bola na posição 3 é a maior entre as posições 1–3)? Para a posição 3 ser a maior entre os três, basta colocar o valor “3” em posição 3; as posições 1 e 2 recebem os valores
em qualquer ordem, dando permutações. - Logo
. - Então
. - Isso significa que, dado que o máximo está na posição 4, a probabilidade de Pedro acabar escolhendo a posição 4 (e portanto pegar o máximo) é
. - Contribuição:
.
Passo 7
Somando as contribuições dos quatro casos pela fórmula da probabilidade total:
Calculemos a soma com denominador comum
:
Resposta
D)