O número de alunos matriculados na Escola Municipal de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?
A) 3150
B) 3180
C) 3240
D) 3300
E) 3350

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa (quantos alunos tem a escola):
  • O número total de alunos permanece o mesmo em 2011, 2012 e 2013 (esse número é uma constante desconhecida que vamos chamar de N).
  • Em 2012 foram construídas 5 salas a mais do que em 2011, e isso fez a média de alunos por sala diminuir em 6 alunos com relação a 2011.
  • Em 2013 foram construídas mais 5 salas (ou seja, 10 a mais que em 2011), e isso fez a média de alunos por sala diminuir em 5 alunos com relação a 2012.
    A pergunta: quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?

Passo 2

Vamos definir variáveis de forma simples:
  • Seja x o número de salas em 2011.
  • Seja N o número total de alunos (constante nos anos).
    A ideia: a “média de alunos por sala” num ano é o número total de alunos dividido pelo número de salas daquele ano. Por exemplo, em 2011 a média é \dfrac{N}{x}; em 2012, com x+5 salas, a média é \dfrac{N}{x+5}; em 2013, com x+10 salas, a média é \dfrac{N}{x+10}.

Passo 3

Usando a informação de 2012 (a média caiu 6 em relação a 2011), escrevemos a equação:
\frac{N}{x+5}=\frac{N}{x}-6
Agora vamos manipular essa equação para isolar uma relação entre N e x. Multiplicamos ambos os lados por x(x+5) para eliminar denominadores:
N x = N(x+5) - 6x(x+5)
Subtraindo N(x+5) de ambos os lados:
N x - N(x+5) = -6x(x+5)
O lado esquerdo simplifica para -5N, logo:
-5N = -6x(x+5)
Multiplicando por -1 e dividindo por 5 obtemos:
N = \frac{6}{5}\,x(x+5)

Passo 4

Usando a informação de 2013 (a média de 2013 é 5 alunos menor que a média de 2012), escrevemos:
\frac{N}{x+10}=\frac{N}{x+5}-5
Multiplicando ambos os lados por (x+10)(x+5):
N(x+5)=N(x+10)-5(x+10)(x+5)
Subtraindo N(x+10) de ambos os lados:
N(x+5)-N(x+10)=-5(x+10)(x+5)
O lado esquerdo simplifica para -5N, então:
-5N = -5(x+10)(x+5)
Multiplicando por -1 e dividindo por 5 obtemos uma relação simples:
N=(x+10)(x+5)

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões obtidas para N. Temos
\frac{6}{5}\,x(x+5) = (x+10)(x+5)
Como x+5>0 (número de salas positivo), podemos cancelar o fator comum x+5:
\frac{6}{5}\,x = x+10
Multiplicando por 5 para eliminar o denominador:
6x = 5x + 50
Subtraindo 5x:
x = 50
Portanto havia 50 salas em 2011.

Passo 6

Agora usamos a fórmula que obtivemos para N em função de x:
N=(x+10)(x+5)
Substituindo x=50 obtemos
N=(60)(55)
Podemos também verificar rapidamente as médias sem calcular o produto final: em 2011 a média seria \dfrac{N}{x}=\dfrac{(60)(55)}{50}=66, em 2012 \dfrac{N}{x+5}=\dfrac{(60)(55)}{55}=60 (redução de 6) e em 2013 \dfrac{N}{x+10}=\dfrac{(60)(55)}{60}=55 (redução de 5). Esses números confirmam que as condições do enunciado foram satisfeitas.

Resposta

3300

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