O número de alunos matriculados na Escola Municipal de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?
A) 3150
B) 3180
C) 3240
D) 3300
E) 3350
A) 3150
B) 3180
C) 3240
D) 3300
E) 3350
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa (quantos alunos tem a escola):
- O número total de alunos permanece o mesmo em 2011, 2012 e 2013 (esse número é uma constante desconhecida que vamos chamar de
). - Em 2012 foram construídas 5 salas a mais do que em 2011, e isso fez a média de alunos por sala diminuir em 6 alunos com relação a 2011.
- Em 2013 foram construídas mais 5 salas (ou seja, 10 a mais que em 2011), e isso fez a média de alunos por sala diminuir em 5 alunos com relação a 2012.
A pergunta: quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?
Passo 2
Vamos definir variáveis de forma simples:
- Seja
o número de salas em 2011. - Seja
o número total de alunos (constante nos anos).
A ideia: a “média de alunos por sala” num ano é o número total de alunos dividido pelo número de salas daquele ano. Por exemplo, em 2011 a média é; em 2012, com salas, a média é ; em 2013, com salas, a média é .
Passo 3
Usando a informação de 2012 (a média caiu 6 em relação a 2011), escrevemos a equação:
Agora vamos manipular essa equação para isolar uma relação entre
e
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Subtraindo
de ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
, logo:
Multiplicando por
e dividindo por
obtemos:
Passo 4
Usando a informação de 2013 (a média de 2013 é 5 alunos menor que a média de 2012), escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
, então:
Multiplicando por
e dividindo por
obtemos uma relação simples:
Passo 5
Agora igualamos as duas expressões obtidas para
. Temos
Como
(número de salas positivo), podemos cancelar o fator comum
:
Multiplicando por
para eliminar o denominador:
Subtraindo
:
Portanto havia
salas em 2011.
Passo 6
Agora usamos a fórmula que obtivemos para
em função de
:
Substituindo
obtemos
Podemos também verificar rapidamente as médias sem calcular o produto final: em 2011 a média seria
, em 2012
(redução de 6) e em 2013
(redução de 5). Esses números confirmam que as condições do enunciado foram satisfeitas.
Resposta
3300