O símbolo n ! é usado para representar o produto dos números naturais de 1 a n, isto é, n!=n \cdot(n-1) \ldots 2 \cdot 1. Por exemplo, 4!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. Se n!=2^{15} \cdot 3^{6} \cdot 5^{3}. 7^{2} \cdot 11 \cdot 13, qual é o valor de n ?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18

Passo 1

O enunciado dá que o fatorial n! tem fatoração prima
n! = 2^{15}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 11^{1}\cdot 13^{1}.
A questão pede: determinar o valor de n. As opções são: A) 13, B) 14, C) 15, D) 16, E) 18.

Passo 2

Primeiro uma ferramenta que vamos usar: para um primo p o expoente de p em n! (denotado por v_{p}(n!)) é dado por (fórmula de Legendre)
v_{p}(n!)=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^{k}}\right\rfloor.
Explicando devagar: \left\lfloor\dfrac{n}{p}\right\rfloor conta quantos múltiplos de p existem entre 1 e n (cada um contribui pelo menos um p); \left\lfloor\dfrac{n}{p^{2}}\right\rfloor conta quantos múltiplos de p^{2} (cada um contribui com um p extra), e assim por diante. Somando obtemos o total de fatores p em n!.

Passo 3

Usando informação das maiores primos: como 13 aparece (com expoente 1), isso implica necessariamente n\ge 13. Como o expoente de 13 é 1, devemos ter \left\lfloor\dfrac{n}{13}\right\rfloor = 1 e \left\lfloor\dfrac{n}{13^2}\right\rfloor=0, logo 13\le n\le 25. Assim n está entre 13 e 25.

Passo 4

Olhe para o expoente de 5, que é 3. Aplicando a fórmula:
v_{5}(n!)=\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor+\cdots = 3.
Para que isso ocorra, precisamos de \left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor=3 e \left\lfloor\dfrac{n}{25}\right\rfloor=0. A equação \left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor=3 é satisfeita quando 15\le n\le 19. Como \left\lfloor\dfrac{n}{25}\right\rfloor=0 é coerente com n<25, concluímos que
n\in\{15,16,17,18,19\}.
Entre as opções dadas na questão, restam possíveis: 15, 16 e 18.

Passo 5

Verificamos agora o expoente de 3, que deve ser 6:
v_{3}(n!)=\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{27}\right\rfloor+\cdots.
Calcule para os candidatos:
  • Para n=15:
\left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{27}\right\rfloor =5+1+0=6.
  • Para n=16:
\left\lfloor\frac{16}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{9}\right\rfloor =5+1=6.
  • Para n=18:
\left\lfloor\frac{18}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{18}{9}\right\rfloor =6+2=8.
Portanto n=18 já é incompatível (daria expoente 8 para 3, não 6). Restam n=15 e n=16.

Passo 6

Agora verifique o expoente de 2, que deve ser 15:
v_{2}(n!)=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{16}\right\rfloor+\cdots.
Calcule para os dois candidatos:
  • Para n=15:
\left\lfloor\frac{15}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{16}\right\rfloor =7+3+1+0=11.
Isso não bate com 15.
  • Para n=16:
\left\lfloor\frac{16}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{16}\right\rfloor =8+4+2+1=15.
Isso bate exatamente com o expoente 15 dado para o primo 2.

Passo 7

Como n=16 satisfaz os expoentes de 2 e 3 e já tinha sido selecionada pela condição do 5, vamos confirmar rapidamente os outros primos com n=16:
  • Para 5:
v_{5}(16!)=\left\lfloor\frac{16}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{25}\right\rfloor =3+0=3.
  • Para 7:
v_{7}(16!)=\left\lfloor\frac{16}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{16}{49}\right\rfloor =2+0=2.
  • Para 11:
v_{11}(16!)=\left\lfloor\frac{16}{11}\right\rfloor =1.
  • Para 13:
v_{13}(16!)=\left\lfloor\frac{16}{13}\right\rfloor =1.
Todos coincidem com a fatoração fornecida.

Passo 8

Conclusão: o único n entre as opções que produz exatamente a fatoração dada é n=16.

Resposta

D) 16

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