O símbolo
! é usado para representar o produto dos números naturais de 1 a
, isto é,
1. Por exemplo,
. Se
.
, qual é o valor de
?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
Passo 1
O enunciado dá que o fatorial
tem fatoração prima
A questão pede: determinar o valor de
. As opções são: A)
, B)
, C)
, D)
, E)
.
Passo 2
Primeiro uma ferramenta que vamos usar: para um primo
o expoente de
em
(denotado por
) é dado por (fórmula de Legendre)
Explicando devagar:
conta quantos múltiplos de
existem entre
e
(cada um contribui pelo menos um
);
conta quantos múltiplos de
(cada um contribui com um
extra), e assim por diante. Somando obtemos o total de fatores
em
.
Passo 3
Usando informação das maiores primos: como
aparece (com expoente
), isso implica necessariamente
. Como o expoente de
é
, devemos ter
e
, logo
. Assim
está entre
e
.
Passo 4
Olhe para o expoente de
, que é
. Aplicando a fórmula:
Para que isso ocorra, precisamos de
e
. A equação
é satisfeita quando
. Como
é coerente com
, concluímos que
Entre as opções dadas na questão, restam possíveis:
,
e
.
Passo 5
Verificamos agora o expoente de
, que deve ser
:
Calcule para os candidatos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto
já é incompatível (daria expoente
para
, não
). Restam
e
.
Passo 6
Agora verifique o expoente de
, que deve ser
:
Calcule para os dois candidatos:
- Para
:
Isso não bate com
.
- Para
:
Isso bate exatamente com o expoente
dado para o primo
.
Passo 7
Como
satisfaz os expoentes de
e
e já tinha sido selecionada pela condição do
, vamos confirmar rapidamente os outros primos com
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Todos coincidem com a fatoração fornecida.
Passo 8
Conclusão: o único
entre as opções que produz exatamente a fatoração dada é
.
Resposta
D)