Pellets esféricos de
de diâmetro são pintados por aspersão com uma camada de tinta muito fina. A tinta contém um solvente volátil. A pressão de vapor do solvente a 298 K é
e a difusividade do vapor de solvente no ar a 298 K é
. A quantidade de solvente na tinta úmida sobre o pellet é
de solvente por
de área superficial do pellet. A massa molar do solvente é
.
Passo 1
O enunciado descreve pellets esféricos de diâmetro
com uma camada fina de tinta que contém solvente volátil. Não foi dada explicitamente a pergunta, então vou assumir a pergunta natural para esse tipo de problema: “Qual o tempo necessário para evaporar todo o solvente da camada sobre um pellet, supondo ar suficientemente ventilado (concentração de vapor no infinito igual a zero) e que o transporte do vapor até o ar seja controlado por difusão?”\n\nDados fornecidos (vou listá-los todos explicitamente):\n\n- diâmetro do pellet:
(logo o raio é
)\n- pressão de vapor do solvente a
:
\n- difusividade do vapor do solvente no ar a
:
\n- quantidade de solvente na tinta úmida sobre o pellet:
de solvente por
de área superficial do pellet\n- massa molar do solvente:
\n- temperatura:
\n\nO que eu vou calcular: o tempo total aproximado
para evaporar todo o solvente depositado sobre um pellet, assumindo que a superfície do pellet está saturada de vapor à pressão de vapor dada (
) e que longe da esfera a concentração de vapor é zero (
).\n\nObservações importantes: vou usar o modelo de difusão estacionária esférica (fluxo controlado por difusão em ar praticamente estacionário). Se isso não for o que o professor pediu, me avisa; mas esse é o procedimento clássico para esse enunciado.
Passo 2
Conversões de unidades (super importantes para evitar erro bobo). Vou colocar tudo em unidades SI consistentes: metros, segundos, quilogramas, mols.\n\n- raio:
\n- difusividade:
\n- massa por área:
\n- massa molar:
\n\nRecheque mental:
vira
porque
; depois multiplica por
dá
.
Passo 3
Relacionar pressão de vapor com concentração de vapor na superfície usando a lei dos gases ideais (essa é a aulazinha que eu prometi):\n\nA lei dos gases ideais para concentração molar (mols por volume) diz que a concentração molar
(em
) está ligada à pressão
por\n
\nonde
é a constante universal dos gases e
é a temperatura em kelvin. Aqui queremos a concentração de vapor saturante na superfície, então\n
\n\nAgora calculo numericamente
:\n
\nFaço a conta (mostrando passos): o denominador é
(aprox), então\n
Passo 4
Modelo de difusão estacionária esférica — derivação do fluxo total de mols por segundo (explicação passo a passo):\n\nQuando o transporte do vapor no ar é dominado por difusão e a aproximação de estado estacionário vale (ou seja, a variação de concentração no tempo é lenta comparada ao perfil espacial), a equação de difusão radial em coordenadas esféricas reduz-se a\n
\nonde
é a concentração molar a uma distância
do centro da esfera. Integrando isso duas vezes obtemos a solução do tipo
. Aplicando as condições de contorno
e
, obtemos\n
\nO fluxo molar radial em uma superfície de raio
é
. Em
:\n
\nMultiplicando pelo área da superfície da esfera
obtemos o fluxo total de mols que sai da esfera por unidade de tempo:\n
\nEsse é um resultado clássico: o fluxo molar de uma esfera para um meio infinito controlado por difusão é proporcional a
e ao raio
, e à diferença de concentração entre superfície e infinito.
Passo 5
Escolhas de aproximações que estou fazendo — seja consciente: vou assumir
(ar suficientemente ventilado, o vapor é levado para longe tão rapidamente que a concentração longe da esfera é desprezível). Também estou assumindo que a camada de tinta é muito fina de modo que todo o solvente está essencialmente na superfície (ou seja, evaporando a partir da superfície), e que não há resistência à transferência dentro da camada líquida. Essas são aproximações padrão para estimativas rápidas em provas.
Passo 6
Montar a relação para o tempo de evaporação total. Primeiro a quantidade total de solvente em mols na superfície é a massa total dividida pela massa molar. A massa total de solvente no pellet é
, isto é\n
\nEm unidades SI já convertidas (usei
para massa por área e
), temos\n
\nO número de mols inicial é
. O tempo para evaporar tudo, assumindo taxa constante igual a
, é\n
\nSubstituindo
cancela o
e dá uma forma bem simples:\n
Passo 7
Agora coloco tudo numérico na fórmula final. Lembrete dos valores convertidos:\n
\n
\nSubstituindo na expressão\n
Passo 8
Faço a conta passo a passo (para você poder reproduzir sem calculadora se for preciso, eu mostro a decomposição):\n\nDenominador:\n
\nMultiplicando por
:\n
\nNumerador:\n
\nAgora o quociente:\n
Passo 9
Converto o resultado para minutos para ficar mais intuitivo:\n
\n\nInterpretação curta e motivadora: cerca de meia hora para evaporar todo o solvente do pellet sob as hipóteses feitas. Não é necessariamente o resultado exato em uma cabine real (correntes de ar, resistência líquida, temperatura, etc. mudam o valor), mas é a estimativa teórica pela difusão na atmosfera, que é a abordagem pedida em provas.