Questão 9: Uma junta de termopar, que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a \mathrm{h}=300 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) e as propriedades termo físicas do material da junta são as seguintes: \rho=8500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{c}=400 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e \mathrm{k}=25 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}). Determine o diâmetro que a junta deve ter para que o termopar tenha uma constante de tempo de 0,5 \mathrm{~s}. Se a junta está a 25^{\circ} \mathrm{C} e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a 350^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo será necessário para a junta alcançar 349^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o diâmetro da junta esférica para que a constante de tempo seja 0,5\\ \mathrm{s}; (2) com essa constante de tempo, calcular quanto tempo a junta leva para ir de 25^\circ\mathrm{C} até 349^\circ\mathrm{C} quando o gás está a 350^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
h=300\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\quad \rho=8500\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad c=400\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k=25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
constante de tempo desejada:
\tau=0,5\\ \mathrm{s}
temperaturas:
T_i=25^\circ\mathrm{C},\quad T_\infty=350^\circ\mathrm{C},\quad T(t)=349^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Explicando o modelo que vamos usar (de forma bem didática e passo a passo):
Quando um corpo pequeno e com condutividade relativamente alta é aquecido por convecção no exterior, muitas vezes podemos usar o modelo de “capacitor térmico” (modelo de capacidade térmica lumped). Nesse modelo assume-se que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme durante o aquecimento — assim o corpo todo se comporta como um único “bloco” com uma única temperatura que varia no tempo. A equação diferencial de balanço de energia para esse bloco é
m c \frac{dT}{dt} = h A \left(T_\infty - T\right),
onde:
  • m é a massa do corpo (kg),
  • c é o calor específico (J/(kg·K)),
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
  • T_\infty é a temperatura do fluido ambiente (K ou °C),
  • h é o coeficiente convectivo (W/(m^2·K)),
  • A é a área da superfície de troca (m^2).
Rearranjando e comparando com a forma padrão de decaimento exponencial, define-se a constante de tempo \tau como
\tau = \frac{m c}{h A}.
Agora, para uma esfera de diâmetro d:
  • volume: \displaystyle V=\frac{\pi}{6}d^{3},
  • área de superfície: \displaystyle A=\pi d^{2},
  • massa: m=\rho V=\rho\frac{\pi}{6}d^{3}.
Substituindo na definição de \tau:
\tau = \frac{\rho \left(\dfrac{\pi}{6}d^{3}\right) c}{h\left(\pi d^{2}\right)}.
Simplificando a \pi e potências de d:
\tau = \frac{\rho c d}{6 h}.
Essa fórmula é muito prática: para uma esfera a constante de tempo é proporcional ao diâmetro.

Passo 3

Isolando o diâmetro d da relação \tau = \dfrac{\rho c d}{6 h}, obtemos:
d = \frac{6 h \tau}{\rho c}.
Aqui cada símbolo significa:
  • d é o diâmetro que queremos (m),
  • h é o coeficiente de convecção (W/(m^2·K)),
  • \tau é a constante de tempo desejada (s),
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • c é o calor específico (J/(kg·K)).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos para obter d. Lembre que \rho c tem unidades J/(m^3·K) e a conta fica consistente:
\rho c = 8500\times 400 = 3\,400\,000\\ \mathrm{J/(m^{3}\cdot K)}.
Logo
d = \frac{6 \cdot 300 \cdot 0,5}{3\,400\,000}.
Calculemos o numerador: 6\cdot300\cdot0,5 = 900. Então
d = \frac{900}{3\,400\,000}=2,6470588\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática:
d \approx 2,65\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0,265\\ \mathrm{mm}.
(Eu mantive algumas casas significativas — o valor mostra que a junta precisa ser bem pequena para ter \tau=0,5\\ \mathrm{s}.)

Passo 5

Antes de usar o modelo lumped sem culpa, precisamos checar a condição de validade via número de Biot. O número de Biot é
\mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico do corpo, definido como L_c=V/A. Para a esfera:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\dfrac{\pi}{6}d^{3}}{\pi d^{2}}=\frac{d}{6}.
Portanto
\mathrm{Bi} = \frac{h d}{6 k}.
Substituindo os valores (use o d calculado):
\mathrm{Bi} = \frac{300 \cdot 2,647\times10^{-4}}{6\cdot 25}.
Calculemos: numerador =300\times2,647\times10^{-4}=0,07941. Denominador =150. Assim
\mathrm{Bi}\approx 0,0005294.
Como regra prática, o modelo lumped é válido se \mathrm{Bi}\lesssim 0,1. Aqui \mathrm{Bi}\approx 5,3\times10^{-4}\ll 0,1, então o uso do modelo está mais do que justificado.

Passo 6

Agora a segunda parte: achar o tempo necessário para a junta aquecer de T_i=25^\circ\mathrm{C} até T(t)=349^\circ\mathrm{C}, sabendo que T_\infty=350^\circ\mathrm{C} e que a constante de tempo é \tau=0,5\\ \mathrm{s}.
A solução da equação diferencial do modelo lumped é a expressão exponencial:
T(t)-T_\infty = \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\,\mathrm{e}^{-t/\tau}.
Isolamos \mathrm{e}^{-t/\tau}:
\mathrm{e}^{-t/\tau} = \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{349-350}{25-350}=\frac{-1}{-325}=\frac{1}{325}.
Logo
\mathrm{e}^{-t/\tau}=\frac{1}{325}.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{\tau}=\ln\!\left(\frac{1}{325}\right)=-\ln(325).
Portanto
t=\tau\ln(325).

Passo 8

Cálculo numérico:
\ln(325)\approx 5,78378\dots
e com \tau=0,5\\ \mathrm{s}:
t = 0,5\times 5,78378\approx 2,89189\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
t \approx 2,89\\ \mathrm{s}.

Resposta

\text{Diâmetro } d \approx 2,65\times10^{-4}\\ \mathrm{m} \;=\; 0,265\\ \mathrm{mm}â\n
\text{Tempo para alcançar }349^\circ\mathrm{C}: t \approx 2,89\\ \mathrm{s}ç

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