Questão 9: Uma junta de termopar, que pode ser aproximada por uma esfera, é usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O coeficiente convectivo entre a superfície da junta e o gás é igual a
e as propriedades termo físicas do material da junta são as seguintes:
e
. Determine o diâmetro que a junta deve ter para que o termopar tenha uma constante de tempo de
. Se a junta está a
e encontra-se posicionada em uma corrente de gás a
, quanto tempo será necessário para a junta alcançar
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o diâmetro da junta esférica para que a constante de tempo seja
; (2) com essa constante de tempo, calcular quanto tempo a junta leva para ir de
até
quando o gás está a
.
Dados fornecidos:
constante de tempo desejada:
temperaturas:
Passo 2
Explicando o modelo que vamos usar (de forma bem didática e passo a passo):
Quando um corpo pequeno e com condutividade relativamente alta é aquecido por convecção no exterior, muitas vezes podemos usar o modelo de “capacitor térmico” (modelo de capacidade térmica lumped). Nesse modelo assume-se que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme durante o aquecimento — assim o corpo todo se comporta como um único “bloco” com uma única temperatura que varia no tempo. A equação diferencial de balanço de energia para esse bloco é
onde:
-
é a massa do corpo (kg), -
é o calor específico (J/(kg·K)), -
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura do fluido ambiente (K ou °C), -
é o coeficiente convectivo (W/(m^2·K)), -
é a área da superfície de troca (m^2).
Rearranjando e comparando com a forma padrão de decaimento exponencial, define-se a constante de tempo
como
Agora, para uma esfera de diâmetro
:
- volume:
, - área de superfície:
, - massa:
.
Substituindo na definição de
:
Simplificando a
e potências de
:
Essa fórmula é muito prática: para uma esfera a constante de tempo é proporcional ao diâmetro.
Passo 3
Isolando o diâmetro
da relação
, obtemos:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o diâmetro que queremos (m), -
é o coeficiente de convecção (W/(m^2·K)), -
é a constante de tempo desejada (s), -
é a densidade (kg/m^3), -
é o calor específico (J/(kg·K)).
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos para obter
. Lembre que
tem unidades J/(m^3·K) e a conta fica consistente:
Logo
Calculemos o numerador:
. Então
Arredondando de forma prática:
(Eu mantive algumas casas significativas — o valor mostra que a junta precisa ser bem pequena para ter
.)
Passo 5
Antes de usar o modelo lumped sem culpa, precisamos checar a condição de validade via número de Biot. O número de Biot é
onde
é o comprimento característico do corpo, definido como
. Para a esfera:
Portanto
Substituindo os valores (use o
calculado):
Calculemos: numerador
. Denominador
. Assim
Como regra prática, o modelo lumped é válido se
. Aqui
, então o uso do modelo está mais do que justificado.
Passo 6
Agora a segunda parte: achar o tempo necessário para a junta aquecer de
até
, sabendo que
e que a constante de tempo é
.
A solução da equação diferencial do modelo lumped é a expressão exponencial:
Isolamos
:
Passo 7
Substituímos os valores numéricos:
Logo
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Passo 8
Cálculo numérico:
e com
:
Arredondando: