Um pêndulo de comprimento L possui período de 2,5 \mathrm{~s} na superfície da Terra. O mesmo pêndulo é transportado para a superfície da Lua, onde a gravidade é igual a g / 6. Considerando g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, calcule o período deste pêndulo na Lua.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento L que na Terra possui período T_{\text{T}}=2{,}5\\ \mathrm{s}. Na teoria de pêndulos pequenos (oscilações harmônicas), o período satisfaz
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{local}}}},
onde g_{\text{local}} é a aceleração da gravidade no local. Na Terra temos g_{\text{T}}=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e na Lua vale g_{\text{Lua}} = g_{\text{T}}/6. Vamos usar essa fórmula para achar L e depois o novo período na Lua.

Passo 2

Escrevendo a fórmula do período na Terra:
T_{\text{T}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{T}}}}.
Isolando L, obtemos
L = \biggl(\frac{T_{\text{T}}}{2\pi}\biggr)^{2} \, g_{\text{T}}.

Passo 3

Agora, queremos o período na Lua,
T_{\text{Lua}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{Lua}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{T}}/6}} = 2\pi \sqrt{\frac{6L}{g_{\text{T}}}}.
Substituindo L da expressão anterior,
T_{\text{Lua}} = 2\pi \sqrt{\frac{6}{g_{\text{T}}} \Bigl(\frac{T_{\text{T}}}{2\pi}\Bigr)^{2} g_{\text{T}}} = 2\pi \sqrt{6} \,\frac{T_{\text{T}}}{2\pi} = T_{\text{T}} \sqrt{6}.

Passo 4

Basta agora calcular numericamente:
T_{\text{Lua}} = 2{,}5\\ \mathrm{s} \times \sqrt{6} \approx 2{,}5 \times 2{,}449 \approx 6{,}12\\ \mathrm{s}.

Resposta

O período do pêndulo na Lua é aproximadamente 6{,}1\\ \mathrm{s}.

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