Um pêndulo físico é formado por uma barra fina e uniforme de comprimento L=1,600 m e massa M=0,100 \mathrm{~kg} sustentado em um plano vertical por um pino situado a um quarto da extremidade da barra. A barra é deslocada de um pequeno ângulo e liberado. Determine (a) \underset{\sim}{\sim} momento de inércia do pêndulo em relação ao pino e (b) o período de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá uma barra fina e uniforme com comprimento L=1,600\\ \mathrm{m} e massa M=0,100\\ \mathrm{kg}. O pino está localizado a um quarto da extremidade da barra (ou seja, a uma distância L/4 de uma extremidade). A barra é deslocada por um pequeno ângulo e liberada.
O que se pede:
  • (a) determinar o momento de inércia do pêndulo em relação ao pino;
  • (b) determinar o período de oscilação (pequenas oscilações).
Informações relevantes listadas:
  • comprimento: L=1,600\\ \mathrm{m};
  • massa: M=0,100\\ \mathrm{kg};
  • posição do pino: a L/4 da extremidade;
  • aceleração da gravidade (usar): g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão);
  • pequena amplitude (aplica-se a aproximação \sin\theta\approx\theta).

Passo 2

Determinar a distância d entre o pino e o centro de massa da barra (essa distância é necessária para o teorema dos eixos paralelos e para a equação do movimento).
A barra uniforme tem o centro de massa no meio, a L/2 da extremidade. O pino está a L/4 da extremidade, portanto a distância do pino ao centro de massa é
d=\left|\frac{L}{2}-\frac{L}{4}\right|=\frac{L}{4}.
Substituindo L=1,600\\ \mathrm{m},
d=\frac{1,600}{4}=0,400\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa, I_{\text{cm}}. Para uma barra fina e uniforme de comprimento L girando em torno de um eixo perpendicular à barra e passando pelo centro, a fórmula (que vem da integral I=\int r^2\,dm) é
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12} M L^2.
Explicando rapidamente a ideia da integral (para matar a curiosidade): se a densidade linear é \lambda=M/L, então
I_{\text{cm}}=\int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda\,dx=\lambda\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-L/2}^{L/2}=\lambda\cdot\frac{L^3}{12}=\frac{1}{12}ML^2.
Agora substituindo os números:
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}\cdot 0,100\cdot(1,600)^2.
Calcule passo a passo: (1,600)^2=2,56, então
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}\cdot 0,100\cdot 2,56=\frac{0,256}{12}=0,021333\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Usar o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para obter o momento de inércia em relação ao pino. O teorema diz:
I_{\text{pino}}=I_{\text{cm}}+M d^2,
onde d é a distância entre o centro de massa e o eixo paralelo novo (o pino). Já temos I_{\text{cm}} e d=\tfrac{L}{4}. Assim,
I_{\text{pino}}=\frac{1}{12}ML^2+M\left(\frac{L}{4}\right)^2.
Para simplificar simbolicamente:
I_{\text{pino}}=ML^2\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{16}\right)=ML^2\cdot\frac{7}{48}.
Agora numericamente:
I_{\text{pino}}=\frac{7}{48}\cdot 0,100\cdot(1,600)^2=\frac{7}{48}\cdot 0,256=0,037333\ldots\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Arredondando razoavelmente: I_{\text{pino}}\approx 0,03733\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

Obter a equação de movimento para pequenas oscilações e a expressão do período. Para um pêndulo físico (corpo rígido) sujeito ao torque gravitacional em pequenas oscilações, o torque em torno do pino é aproximadamente
\tau\approx -M g d\,\theta,
onde \theta é o ângulo pequeno medido a partir da vertical (o sinal menos indica torque restaurador). A segunda lei para rotação é
I_{\text{pino}}\ddot{\theta}=\tau.
Substituindo o torque:
I_{\text{pino}}\ddot{\theta}+M g d\,\theta=0.
Isto é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular
\omega^2=\frac{M g d}{I_{\text{pino}}}.
Portanto o período é
T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\text{pino}}}{M g d}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • I_{\text{pino}}: momento de inércia em relação ao pino (já calculado);
  • M: massa da barra;
  • g: aceleração da gravidade;
  • d: distância do pino ao centro de massa;
  • T: período da pequena oscilação.

Passo 6

Calcular numericamente o período usando os valores conhecidos. Primeiro calcular M g d:
M g d = 0,100\cdot 9,80\cdot 0,400 = 0,392\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora a razão dentro da raiz:
\frac{I_{\text{pino}}}{M g d}=\frac{0,037333\ldots}{0,392}\approx 0,09528.
A raiz quadrada:
\sqrt{0,09528}\approx 0,3087\\ \mathrm{s}.
Finalmente o período:
T=2\pi\cdot 0,3087\approx 1,94\\ \mathrm{s}.
Observação útil (checagem física): pode-se definir um comprimento efetivo L_{\text{eq}}=\dfrac{I_{\text{pino}}}{M d}. Aqui
L_{\text{eq}}=\frac{0,037333\ldots}{0,100\cdot 0,400}=\frac{0,037333\ldots}{0,040}=0,93333\\ \mathrm{m},
e então T=2\pi\sqrt{L_{\text{eq}}/g}, que dá o mesmo resultado. Isso ajuda a interpretar: o pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento aproximadamente 0,933\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) I_{\text{pino}}=0,03733\\ \mathrm{kg\cdot m^2}
(b) T=1,94\\ \mathrm{s}

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