Um pêndulo físico é formado por uma barra fina e uniforme de comprimento L=1,600 m e massa M=0,100 \mathrm{~kg} sustentado em um plano vertical por um pino situado a um quarto da extremidade da barra. A barra é deslocada de um pequeno ângulo e liberado. Determine (a) \underset{\sim}{\sim} momento de inércia do pêndulo em relação ao pino e (b) o período de oscilação.
Passo 1
O enunciado dá uma barra fina e uniforme com comprimento L=1,600\\ \mathrm{m} e massa M=0,100\\ \mathrm{kg}. O pino está localizado a um quarto da extremidade da barra (ou seja, a uma distância L/4 de uma extremidade). A barra é deslocada por um pequeno ângulo e liberada.
O que se pede:
(a) determinar o momento de inércia do pêndulo em relação ao pino;
(b) determinar o período de oscilação (pequenas oscilações).
Informações relevantes listadas:
comprimento: L=1,600\\ \mathrm{m};
massa: M=0,100\\ \mathrm{kg};
posição do pino: a L/4 da extremidade;
aceleração da gravidade (usar): g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão);
pequena amplitude (aplica-se a aproximação \sin\theta\approx\theta).
Passo 2
Determinar a distância d entre o pino e o centro de massa da barra (essa distância é necessária para o teorema dos eixos paralelos e para a equação do movimento).
A barra uniforme tem o centro de massa no meio, a L/2 da extremidade. O pino está a L/4 da extremidade, portanto a distância do pino ao centro de massa é
Calcular o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa, I_{\text{cm}}. Para uma barra fina e uniforme de comprimento L girando em torno de um eixo perpendicular à barra e passando pelo centro, a fórmula (que vem da integral I=\int r^2\,dm) é
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12} M L^2.
Explicando rapidamente a ideia da integral (para matar a curiosidade): se a densidade linear é \lambda=M/L, então
Obter a equação de movimento para pequenas oscilações e a expressão do período. Para um pêndulo físico (corpo rígido) sujeito ao torque gravitacional em pequenas oscilações, o torque em torno do pino é aproximadamente
\tau\approx -M g d\,\theta,
onde \theta é o ângulo pequeno medido a partir da vertical (o sinal menos indica torque restaurador). A segunda lei para rotação é
I_{\text{pino}}\ddot{\theta}=\tau.
Substituindo o torque:
I_{\text{pino}}\ddot{\theta}+M g d\,\theta=0.
Isto é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular
\omega^2=\frac{M g d}{I_{\text{pino}}}.
Portanto o período é
T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\text{pino}}}{M g d}}.
Aqui cada símbolo significa:
I_{\text{pino}}: momento de inércia em relação ao pino (já calculado);
M: massa da barra;
g: aceleração da gravidade;
d: distância do pino ao centro de massa;
T: período da pequena oscilação.
Passo 6
Calcular numericamente o período usando os valores conhecidos. Primeiro calcular M g d:
M g d = 0,100\cdot 9,80\cdot 0,400 = 0,392\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora a razão dentro da raiz:
\frac{I_{\text{pino}}}{M g d}=\frac{0,037333\ldots}{0,392}\approx 0,09528.
e então T=2\pi\sqrt{L_{\text{eq}}/g}, que dá o mesmo resultado. Isso ajuda a interpretar: o pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento aproximadamente 0,933\\ \mathrm{m}.