Um oscilador é formado por um bloco de massa m=0,500 \mathrm{~kg} preso a uma mola de constante elástica k. Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) a velocidade e a aceleração do bloco são x=0,150 \mathrm{~m}, v=-10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a= -160 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule a constante elástica da mola.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedido: calcular a constante elástica da mola, k.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=0,500\\ \mathrm{kg}
    • posição (em relação ao equilíbrio): x=0,150\\ \mathrm{m}
    • velocidade: v=-10,0\\ \mathrm{m/s}
    • aceleração: a=-160\\ \mathrm{m/s^{2}}

Passo 2

Relação física entre força da mola, aceleração e deslocamento (a ideia chave).
  • A mola obedece à Lei de Hooke: a força elástica é \,F_{\text{el}}=-k\,x, onde
    • k é a constante elástica (o que queremos),
    • x é o deslocamento a partir do equilíbrio (positivo para a direita, por exemplo).
  • Pela Segunda Lei de Newton vale \,m a = F_{\text{resultante}}. No modelo sem atrito nem forças adicionais, a única força horizontal é a força elástica, logo: m a = -k x.
  • Isolando a aceleração: a = -\frac{k}{m}\,x.Aqui \displaystyle -\frac{k}{m} é -\omega^{2} se quisermos falar em frequência angular ( \omega), pois para um oscilador harmônico simples \omega^{2}=k/m.
  • Explicando em palavras: numa oscilação harmônica a aceleração é sempre proporcional ao deslocamento e apontando para o ponto de equilíbrio (por isso o sinal negativo).

Passo 3

Isolar k na equação m a = -k x.
  • Multiplicando e dividindo de forma a deixar k isolado: k = -\frac{m a}{x}.
  • Comentário sobre sinais: se x>0 e a<0 (como no enunciado), o produto -m a é positivo, então k>0 como esperado.

Passo 4

Substituir os valores e calcular passo a passo (fazer contas que dê pra fazer à mão).
  • Calcular -m a: -m a = -\bigl(0,500\bigr)\cdot\bigl(-160\bigr)=0,500\times160=80.A unidade desse resultado é newton (porque kg\cdot m/s^{2}=N), mas ainda vamos dividir por metros para obter N/m.
  • Dividir por x: k = \frac{80}{0,150}.
  • Fazer a divisão: \frac{80}{0,150}=533,\overline{3}\\ \mathrm{N/m}.
  • Arredondando com três algarismos significativos fica k\approx5,33\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Checagem alternativa (mesma conta vista via \omega):
  • Pode-se também ver que \omega^{2}=-\dfrac{a}{x}=\dfrac{160}{0,150}=1066,\overline{6}\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • Então k=m\omega^{2}=0,500\times1066,\overline{6}=533,\overline{3}\\ \mathrm{N/m}, mesma resposta — bom sinal.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • O resultado significa que a mola é relativamente rígida: para deslocar 1 metro a mola aplicaria cerca de 533\\ \mathrm{N}.
  • Bom trabalho em seguir passo a passo — essa manipulação ma=-kx é a forma mais direta de resolver essas questões em provas. Você conseguiu!

Resposta

k=5,33\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}

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