Um oscilador é formado por um bloco de massa m=0,500 \mathrm{~kg} preso a uma mola de constante elástica k. Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) a velocidade e a aceleração do bloco são x=0,150 \mathrm{~m}, v=-10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a= -160 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule o período da oscilação

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o período da oscilação do oscilador.
Informações dadas (pego do enunciado):
  • Massa: m=0,500\\ \mathrm{kg}.
  • Posição no instante t (em relação ao equilíbrio): x=0,150\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade no instante t: v=-10,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração no instante t: a=-160\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Entendendo a relação que vamos usar (a “aula rápida”): para um bloco preso a uma mola sem atrito que executa movimento harmônico simples (MAS), as forças e as equações são assim:
  • A força da mola segue a Lei de Hooke: F=-k x, onde k é a constante elástica e x é a deformação (posição medida a partir do equilíbrio). O sinal negativo indica que a força tende a restaurar o bloco para o equilíbrio.
  • Pela segunda lei de Newton: m a = F. Substituindo a força da mola:
m a = -k x.
  • Dividindo por m vem a forma típica do MAS:
a = -\frac{k}{m}\,x.
  • Definimos a frequência angular \omega por
\omega^{2}=\frac{k}{m},
logo a equação do movimento também pode ser escrita como
a = -\omega^{2} x.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a: aceleração instantânea (m/s ^2).
  • x: posição instantânea medida do equilíbrio (m).
  • k: constante elástica da mola (N/m).
  • m: massa (kg).
  • \omega: frequência angular (rad/s).
  • T: período (s).

Passo 3

Usando a relação do MAS a = -\omega^{2} x podemos isolar \omega^{2}:
\omega^{2} = -\frac{a}{x}.
Substituindo os valores fornecidos (note que a é negativo e x é positivo, então -a/x é positivo):
\omega^{2} = -\frac{-160}{0,150} = \frac{160}{0,150}.
Calcule:
\omega^{2} = 1066,\overline{6}\\ \mathrm{s}^{-2}.

Passo 4

Agora tiramos a raiz para obter \omega:
\omega = \sqrt{1066,\overline{6}}\approx 32,66\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Finalmente calculamos o período T usando T=2\pi/\omega:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{32,66}\approx 0,192\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (opcional, para ganhar confiança): em MAS vale também
\omega^{2}A^{2}=v^{2}+\omega^{2}x^{2},
onde A é a amplitude. Com os valores dados tem-se A=\sqrt{x^{2}+v^{2}/\omega^{2}}, que dá um valor real e compatível (portanto os dados são coerentes com MAS). Este passo é só para confirmar; não era necessário para achar T.

Resposta

T=0,192\\ \mathrm{s}

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