Um oscilador é formado por um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
. Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) a velocidade e a aceleração do bloco são
e
. Calcule o período da oscilação
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o período da oscilação do oscilador.
Informações dadas (pego do enunciado):
- Massa:
. - Posição no instante
(em relação ao equilíbrio): . - Velocidade no instante
: . - Aceleração no instante
: .
Passo 2
Entendendo a relação que vamos usar (a “aula rápida”): para um bloco preso a uma mola sem atrito que executa movimento harmônico simples (MAS), as forças e as equações são assim:
- A força da mola segue a Lei de Hooke:
, onde é a constante elástica e é a deformação (posição medida a partir do equilíbrio). O sinal negativo indica que a força tende a restaurar o bloco para o equilíbrio. - Pela segunda lei de Newton:
. Substituindo a força da mola:
- Dividindo por
vem a forma típica do MAS:
- Definimos a frequência angular
por
logo a equação do movimento também pode ser escrita como
- O período
(tempo de uma oscilação completa) está relacionado com por
Aqui cada símbolo significa:
-
: aceleração instantânea (m/s ). -
: posição instantânea medida do equilíbrio (m). -
: constante elástica da mola (N/m). -
: massa (kg). -
: frequência angular (rad/s). -
: período (s).
Passo 3
Usando a relação do MAS
podemos isolar
:
Substituindo os valores fornecidos (note que
é negativo e
é positivo, então
é positivo):
Calcule:
Passo 4
Agora tiramos a raiz para obter
:
Passo 5
Finalmente calculamos o período
usando
:
Passo 6
Cheque rápido de consistência (opcional, para ganhar confiança): em MAS vale também
onde
é a amplitude. Com os valores dados tem-se
, que dá um valor real e compatível (portanto os dados são coerentes com MAS). Este passo é só para confirmar; não era necessário para achar
.