Um pêndulo é formado por uma pedra de 3 kg oscilando na extremidade de uma corda de
de comprimento e massa desprezivel. A pedra tem velocidade de
ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. Qual é o maior ângulo com a vertical que a corda assume durante o movimento da pedra? Expresse sua resposta em graus (
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior ângulo com a vertical que a corda assume quando a pedra sobe, sabendo que ao passar pelo ponto mais baixo a pedra tem velocidade
. Dados fornecidos:
a massa da corda é desprezível (já dito no enunciado). Queremos o ângulo máximo
com a vertical, em graus.
Passo 2
Princípio físico usado (explicação didática): como a corda é sem massa e o enunciado não menciona atrito ou resistência do ar, podemos considerar que a energia mecânica (energia cinética + energia potencial gravitacional) da pedra é conservada. Isso significa que a energia cinética que a pedra tem no ponto mais baixo será transformada em energia potencial à medida que sobe, até que a velocidade momentaneamente seja zero no ponto de amplitude máxima. Escrevemos a conservação de energia entre o ponto mais baixo (subíndice 0) e o ponto de amplitude máxima (subíndice a):
Aqui:
-
é a massa da pedra; -
é a velocidade no ponto mais baixo; -
é a velocidade no ponto mais alto (na amplitude máxima, ); -
e são as alturas (vertical) nos dois pontos; -
é a aceleração da gravidade (usaremos ).
Passo 3
Simplificação pela escolha de referência de energia: escolhemos a altura zero no ponto mais baixo, isto é
. Assim a equação de conservação vira, com
,
onde
é a elevação vertical da pedra entre o ponto mais baixo e a posição de amplitude máxima. Observação útil: a massa
aparece em ambos os lados e cancela, então a resposta não depende de
.
Passo 4
Relacionando a elevação
com o ângulo
: se a corda tem comprimento
, quando a pedra forma um ângulo
com a vertical a posição vertical relativa ao centro de rotação fica a uma distância
abaixo do ponto de suspensão. No ponto mais baixo essa distância é
. Logo a elevação em relação ao ponto mais baixo é
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Isolando
e mostrando cada passo algébrico:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a velocidade inicial no fundo ( ); -
é ; -
é .
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo (uso de vírgula para decimais conforme pedido):
Passo 7
Para obter
usamos a função arco cosseno e convertemos para graus:
Observação:
está entre
e
, e o valor obtido é válido. Se fosse maior que 1 ou menor que
significaria que a velocidade inicial não seria suficiente (ou seria demais) para alcançar tal geometria — mas aqui está tudo coerente.