Um pêndulo é formado por uma pedra de 3 kg oscilando na extremidade de uma corda de 3,3 \mathrm{~m} de comprimento e massa desprezivel. A pedra tem velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. Qual é o maior ângulo com a vertical que a corda assume durante o movimento da pedra? Expresse sua resposta em graus ( ).
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior ângulo com a vertical que a corda assume quando a pedra sobe, sabendo que ao passar pelo ponto mais baixo a pedra tem velocidade 6\\ \mathrm{m/s}. Dados fornecidos:
m=3\\ \mathrm{kg},\qquad L=3,3\\ \mathrm{m},\qquad v_0=6\\ \mathrm{m/s},
a massa da corda é desprezível (já dito no enunciado). Queremos o ângulo máximo \theta com a vertical, em graus.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): como a corda é sem massa e o enunciado não menciona atrito ou resistência do ar, podemos considerar que a energia mecânica (energia cinética + energia potencial gravitacional) da pedra é conservada. Isso significa que a energia cinética que a pedra tem no ponto mais baixo será transformada em energia potencial à medida que sobe, até que a velocidade momentaneamente seja zero no ponto de amplitude máxima. Escrevemos a conservação de energia entre o ponto mais baixo (subíndice 0) e o ponto de amplitude máxima (subíndice a):
\frac{1}{2}m v_0^2 + m g y_0 = \frac{1}{2}m v_a^2 + m g y_a.
Aqui:
  • m é a massa da pedra;
  • v_0 é a velocidade no ponto mais baixo;
  • v_a é a velocidade no ponto mais alto (na amplitude máxima, v_a=0);
  • y_0 e y_a são as alturas (vertical) nos dois pontos;
  • g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).

Passo 3

Simplificação pela escolha de referência de energia: escolhemos a altura zero no ponto mais baixo, isto é y_0=0. Assim a equação de conservação vira, com v_a=0,
\frac{1}{2}m v_0^2 = m g h,
onde h=y_a-y_0 é a elevação vertical da pedra entre o ponto mais baixo e a posição de amplitude máxima. Observação útil: a massa m aparece em ambos os lados e cancela, então a resposta não depende de m.

Passo 4

Relacionando a elevação h com o ângulo \theta: se a corda tem comprimento L, quando a pedra forma um ângulo \theta com a vertical a posição vertical relativa ao centro de rotação fica a uma distância L\cos\theta abaixo do ponto de suspensão. No ponto mais baixo essa distância é L. Logo a elevação em relação ao ponto mais baixo é
h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta).
Substituindo em \frac{1}{2}v_0^2 = g h obtemos
\frac{1}{2}v_0^2 = g L(1-\cos\theta).

Passo 5

Isolando \cos\theta e mostrando cada passo algébrico:
gL(1-\cos\theta)=\frac{1}{2}v_0^2
1-\cos\theta=\frac{v_0^2}{2gL}
\cos\theta = 1 - \frac{v_0^2}{2gL}.
Aqui cada símbolo significa:
  • v_0 é a velocidade inicial no fundo ( 6\\ \mathrm{m/s});
  • g é 9,8\\ \mathrm{m/s^2};
  • L é 3,3\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos e calculamos passo a passo (uso de vírgula para decimais conforme pedido):
v_0^2 = 6^2 = 36.
2gL = 2\cdot 9,8 \cdot 3,3 = 19,6\cdot 3,3 = 64,68.
\frac{v_0^2}{2gL}=\frac{36}{64,68}\approx 0,556675\ldots
\cos\theta = 1 - 0,556675\ldots \approx 0,4433247\ldots

Passo 7

Para obter \theta usamos a função arco cosseno e convertemos para graus:
\theta = \operatorname{arccos}(0,4433247\ldots)\approx 63,7^\circ.
Observação: \cos\theta está entre -1 e 1, e o valor obtido é válido. Se fosse maior que 1 ou menor que -1 significaria que a velocidade inicial não seria suficiente (ou seria demais) para alcançar tal geometria — mas aqui está tudo coerente.

Resposta

63,7^\circ

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