Um pêndulo é formado prendendo-se uma barra longa e fina de comprimento
e massa
em um dado ponto, que esta a uma distância
acima do seu centro. (a) Ache o período deste pêndulo em temos de
e
, para pequenas oscilações. (b) Trace um diagrama do período em função de
. © Qual o
correspondente ao período mínimo? Resp.: a)
; c) d= L/ 12
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pêndulo composto, que é basicamente uma barra presa num ponto acima do seu centro. A gente precisa encontrar o período desse pêndulo em função de $ d $, $ L $ e $ g $, além de analisar como o período muda conforme $ d $ e descobrir qual $ d $ dá o período mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de física como momento de inércia e o movimento de pêndulos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o período de um pêndulo. O período $ T $ é o tempo que o pêndulo leva para completar uma oscilação completa. Para pêndulos simples, a fórmula é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $, mas como esse é um pêndulo composto, precisamos levar em conta o momento de inércia da barra.
Passo 3
O momento de inércia $ I $ é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao ponto de rotação. Para uma barra fina e longa de comprimento $ L $ e massa $ m $, o momento de inércia em relação ao centro é $ I_{centro} = \frac{mL^2}{12} $. Mas nosso pêndulo está preso a uma distância $ d $ acima do centro, então usamos o Teorema de Steiner para ajustar o momento de inércia:
Passo 4
Agora, usamos a fórmula geral para o período de um pêndulo composto:
Aqui, $ h $ é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão. No nosso caso, o centro de massa está a uma distância $ d $ do ponto de suspensão, então $ h = d $.
Substituindo os valores:
Passo 5
Pronto, chegamos à primeira parte! A fórmula do período $ T $ em função de $ d $, $ L $ e $ g $ é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte ©, que pede o valor de $ d $ que minimiza o período $ T $. Para isso, precisamos encontrar o valor de $ d $ que faz a derivada de $ T $ em relação a $ d $ ser igual a zero.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Mas, para facilitar a derivação, vamos derivar a expressão original:
Derivando em relação a $ d $:
Igualando a derivada a zero:
Simplificando:
Cancelando $ \frac{1}{g} $ dos dois lados:
Resolvendo para $ d $:
Mas, geralmente, simplificamos $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $, então:
Resposta
a) O período $ T $ do pêndulo é dado por:
c) O valor de $ d $ que minimiza o período é: