Uma partícula num campo gravitacional uniforme \mathbf{g}=-g \hat{\mathrm{k}} está restrita a moverse na superfície de um parabolóide de revolução definido pela equação z=\rho^{2} / R, onde R é uma constante positiva e ( \rho, \theta, z ) são coordenadas cilíndricas. Obtenha a lagrangiana e as equações de Lagrange. Prove que a projeção do raio vetor da partícula sobre o plano x y varre áreas iguais em tempos iguais.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita a um campo gravitacional uniforme \mathbf{g}=-g\hat{\mathrm{k}} e confinada à superfície do parabolóide de revolução
z = \frac{\rho^2}{R},
onde usamos coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z). Precisamos obter a lagrangiana L=T-V, escrever as equações de Lagrange para as variáveis \rho e \theta e mostrar que a projeção do raio vetor no plano xy varre áreas iguais em tempos iguais.

Passo 2

Primeiro calculamos a energia cinética. Em cilíndricas
T = \frac{m}{2}\Bigl(\dot\rho^2 + (\rho\dot\theta)^2 + \dot z^2\Bigr).
Como z=\rho^2/R, tem-se
\dot z = \frac{2\rho}{R}\,\dot\rho,
portanto
T = \frac{m}{2}\Bigl[\dot\rho^2 + (\rho\dot\theta)^2 + \Bigl(\frac{2\rho}{R}\dot\rho\Bigr)^2\Bigr] = \frac{m}{2}\Bigl[\Bigl(1+\frac{4\rho^2}{R^2}\Bigr)\dot\rho^2 + \rho^2\dot\theta^2\Bigr].

Passo 3

A energia potencial gravitacional vale
V = mg\,z = mg\,\frac{\rho^2}{R}.
Logo a lagrangiana é
L = T - V = \frac{m}{2}\Bigl(1+\frac{4\rho^2}{R^2}\Bigr)\dot\rho^2 + \frac{m}{2}\,\rho^2\dot\theta^2 - mg\,\frac{\rho^2}{R}.

Passo 4

Agora aplicamos as equações de Lagrange. Para \rho:
\frac{d}{dt}\Bigl[ m\Bigl(1+\frac{4\rho^2}{R^2}\Bigr)\dot\rho \Bigr] - m\Bigl(\frac{4\rho}{R^2}\dot\rho^2 + \rho\dot\theta^2\Bigr) + 2\,mg\,\frac{\rho}{R} = 0.
Para \theta, como L não depende de \theta (é coordenada cíclica), temos conservação do momento conjugado
p_\theta = \frac{\partial L}{\partial\dot\theta} = m\,\rho^2\dot\theta = \ell \quad(\text{constante}).

Passo 5

A área varrida pela projeção do raio vetor \mathbf{r}_{xy} no plano xy num intervalo dt é
dA = \tfrac12\,\rho^2\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \frac{dA}{dt} = \frac12\,\rho^2\,\dot\theta.
Mas de p_\theta=\ell obtemos
\dot\theta = \frac{\ell}{m\,\rho^2} \;\longrightarrow\; \frac{dA}{dt} = \frac12\,\rho^2\cdot\frac{\ell}{m\,\rho^2} = \frac{\ell}{2m},
que é constante. Portanto a projeção varre áreas iguais em tempos iguais.

Resposta

A lagrangiana é
L = \frac{m}{2}\Bigl(1+\frac{4\rho^2}{R^2}\Bigr)\dot\rho^2 + \frac{m}{2}\,\rho^2\dot\theta^2 - mg\,\frac{\rho^2}{R},
as equações de Lagrange em \rho e a conservação de p_\theta=m\rho^2\dot\theta seguem diretamente, e a área varrida por unidade de tempo \dfrac{dA}{dt}=\ell/(2m) é constante, mostrando o resultado pedido.

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