Uma partícula num campo gravitacional uniforme
está restrita a moverse na superfície de um parabolóide de revolução definido pela equação
, onde
é uma constante positiva e (
) são coordenadas cilíndricas. Obtenha a lagrangiana e as equações de Lagrange. Prove que a projeção do raio vetor da partícula sobre o plano
varre áreas iguais em tempos iguais.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita a um campo gravitacional uniforme
e confinada à superfície do parabolóide de revolução
onde usamos coordenadas cilíndricas
. Precisamos obter a lagrangiana
, escrever as equações de Lagrange para as variáveis
e
e mostrar que a projeção do raio vetor no plano
varre áreas iguais em tempos iguais.
Passo 2
Primeiro calculamos a energia cinética. Em cilíndricas
Como
, tem-se
portanto
Passo 3
A energia potencial gravitacional vale
Logo a lagrangiana é
Passo 4
Agora aplicamos as equações de Lagrange. Para
:
Para
, como
não depende de
(é coordenada cíclica), temos conservação do momento conjugado
Passo 5
A área varrida pela projeção do raio vetor
no plano
num intervalo
é
Mas de
obtemos
que é constante. Portanto a projeção varre áreas iguais em tempos iguais.
Resposta
A lagrangiana é
as equações de Lagrange em
e a conservação de
seguem diretamente, e a área varrida por unidade de tempo
é constante, mostrando o resultado pedido.