Um pêndulo simples de comprimento L=10 \mathrm{~mm} oscila com um ângulo máximo de oito graus ( 0,14 \mathrm{rad} ) Considere a aceleração da gravidade g=9,78 m s^{-2}. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo para pequenos ângulos é dada por \frac{d^{2} \theta(t)}{d t^{2}}+\omega^{2} \theta(t)=0, sendo \omega a frequência angular do pêndulo e \theta o ângulo de deslocamento em função do tempo t. Considerando as condições iniciais \theta(0)=\theta_{0}; \frac{d \theta}{d t}=0 a solução geral da equação diferencial para o pêndulo esse pêndulo é
(a) \theta(t)=0,14 \cos (0,1 t).
(b) \theta(t)=0,14 \cos (0,4 t).
(c) \theta(t)=0,14 \cos (0,8 t).

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos a solução temporal \theta(t) da equação diferencial
\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}+\omega^{2}\theta(t)=0
para pequenos ângulos, com as condições iniciais \theta(0)=\theta_{0} e \frac{d\theta}{dt}(0)=0.
Dados fornecidos:
  • Comprimento do pêndulo: L=10\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo máximo (amplitude): \theta_{0}=0,14\\ \mathrm{rad} (que é 8^\circ).
  • Aceleração da gravidade: g=9,78\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
    Pergunta explícita: qual das alternativas abaixo representa a solução correta \theta(t)?
    (a) \theta(t)=0,14\cos(0,1\,t).
    (b) \theta(t)=0,14\cos(0,4\,t).
    (c) \theta(t)=0,14\cos(0,8\,t).

Passo 2

Entendendo a equação e a forma geral da solução (aula rápida e amigável).
A equação
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega^{2}\theta=0
é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação é
\theta(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Explicando as letras:
  • \theta(t) é o ângulo do pêndulo em função do tempo (em radianos).
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad\,s^{-1}}).
  • A e B são constantes que ajustam a fase e amplitude iniciais.

Passo 3

Aplicando as condições iniciais para achar A e B.
Usamos \theta(0)=\theta_{0}. Substituindo t=0 na solução geral:
\theta(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Portanto A=\theta_{0}=0,14.
Agora a derivada:
\frac{d\theta}{dt}(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
Em t=0:
\frac{d\theta}{dt}(0) = -A\omega\cdot 0 + B\omega\cdot 1 = B\omega.
Como a condição inicial é \frac{d\theta}{dt}(0)=0, segue B\omega=0. Como \omega\neq 0 (pêndulo oscila), temos B=0.
Portanto a solução particular com as condições dadas é
\theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t)=0,14\cos(\omega t).

Passo 4

Agora precisamos calcular \omega para o pêndulo simples (aula curta sobre fórmula).
Para um pêndulo simples, no regime de pequenos ângulos usa-se a aproximação \sin\theta\approx\theta. A equação do movimento linearizada leva à forma do oscilador harmônico cujo parâmetro é
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
Aqui g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m\,s^{-2}}) e L é o comprimento em metros. É importante usar unidades do SI (metros) para que \omega fique em \mathrm{rad\,s^{-1}}.

Passo 5

Converter L para metros e calcular \omega.
Dado L=10\\ \mathrm{mm}. Convertendo para metros:
L=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}=\sqrt{\frac{9,78}{0,01}}=\sqrt{978}\approx 31,28\\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.
Breve justificativa do valor aproximado: 31^{2}=961 e 31{,}3^{2}\approx 979{,}7, logo \sqrt{978} fica perto de 31{,}28.

Passo 6

Escrever a solução final com o \omega calculado e comparar com as alternativas.
Com \theta_{0}=0,14 e \omega\approx 31,28, a solução é
\theta(t)=0,14\cos(31,28\,t).
As alternativas fornecidas têm \omega iguais a 0,1, 0,4 e 0,8\\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, muito menores do que o \omega correto 31,28\\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. Portanto nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) corresponde ao valor correto de \omega com os dados dados.

Resposta

Nenhuma das alternativas. \theta(t)=0,14\cos(31,28\,t)

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