Um pêndulo simples de comprimento
oscila com um ângulo máximo de oito graus (
) Considere a aceleração da gravidade
. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo para pequenos ângulos é dada por
, sendo
a frequência angular do pêndulo e
o ângulo de deslocamento em função do tempo
. Considerando as condições iniciais
;
a solução geral da equação diferencial para o pêndulo esse pêndulo é
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos a solução temporal
da equação diferencial
para pequenos ângulos, com as condições iniciais
e
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Comprimento do pêndulo:
. - Ângulo máximo (amplitude):
(que é ). - Aceleração da gravidade:
.
Pergunta explícita: qual das alternativas abaixo representa a solução correta?
(a).
(b).
(c).
Passo 2
Entendendo a equação e a forma geral da solução (aula rápida e amigável).
A equação
A equação
é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Explicando as letras:
Explicando as letras:
-
é o ângulo do pêndulo em função do tempo (em radianos). -
é a frequência angular (em ). -
e são constantes que ajustam a fase e amplitude iniciais.
Passo 3
Aplicando as condições iniciais para achar
e
.
Usamos . Substituindo
na solução geral:
Usamos
Portanto
.
Agora a derivada:
Agora a derivada:
Em
:
Como a condição inicial é
, segue
. Como
(pêndulo oscila), temos
.
Portanto a solução particular com as condições dadas é
Passo 4
Agora precisamos calcular
para o pêndulo simples (aula curta sobre fórmula).
Para um pêndulo simples, no regime de pequenos ângulos usa-se a aproximação . A equação do movimento linearizada leva à forma do oscilador harmônico cujo parâmetro é
Para um pêndulo simples, no regime de pequenos ângulos usa-se a aproximação
Aqui
é a aceleração da gravidade (em
) e
é o comprimento em metros. É importante usar unidades do SI (metros) para que
fique em
.
Passo 5
Converter
para metros e calcular
.
Dado . Convertendo para metros:
Dado
Agora calculamos
Breve justificativa do valor aproximado:
e
, logo
fica perto de
.
Passo 6
Escrever a solução final com o
calculado e comparar com as alternativas.
Com e
, a solução é
Com
As alternativas fornecidas têm
iguais a
,
e
, muito menores do que o
correto
. Portanto nenhuma das alternativas (a), (b) ou (c) corresponde ao valor correto de
com os dados dados.
Resposta
Nenhuma das alternativas.