Um pesquisador que está estudando a propagação de ondas em uma corda observa a seguinte situação: uma onda estacionária se forma na corda, com nós (pontos de amplitude zero) a cada
, amplitude de
e velocidade de propagação de
. A equação que o pesquisador obtém para descrever a onda estacionária é
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a expressão correta para a onda estacionária:
- Nós (pontos de amplitude zero) a cada
. - Amplitude máxima (da onda estacionária) igual a
. - Velocidade de propagação
. - Três opções de equação para a onda estacionária:
(a).
(b).
(c).
O que devemos determinar: qual dessas três expressões representa corretamente a onda estacionária que satisfaz as informações dadas.
Passo 2
Relação entre espaçamento de nós e comprimento de onda. Vamos entender o que significa "nós a cada
". Para uma onda estacionária, os nós ocorrem quando o fator espacial zera, ou seja quando
. Esses pontos estão separados por meia-onda. Portanto a distância entre nós consecutivos é
Dessa igualdade obtemos o comprimento de onda
:
Passo 3
Cálculo do número de onda
. A relação entre número de onda e comprimento de onda é
Substituindo
temos
Logo o fator espacial
vira
.
Passo 4
Cálculo da frequência e da pulsação
. A relação entre velocidade
, frequência
e comprimento de onda
é
Isolando
e substituindo
e
obtemos
A pulsação (frequência angular) é
Portanto o fator temporal
deve ser
.
Passo 5
Forma geral de uma onda estacionária e origem dessa forma. Uma onda estacionária que resulta da superposição de duas ondas viaja em sentidos opostos tem, de forma clássica, a expressão
onde:
-
é a amplitude máxima da onda estacionária (deslocamento máximo em quando ); -
é o número de onda ( ); -
é a pulsação ( ).
Breve justificativa (porque isso aparece na prova): se tivermos duas ondas viajando com mesma amplitude
,
usando a identidade de soma de senos
obtemos
Portanto a forma
é natural; o coeficiente na frente (a amplitude da onda estacionária) depende da amplitude das ondas incidentes. No nosso enunciado a amplitude máxima da onda estacionária é dada como
, então
.
Passo 6
Substituição dos valores encontrados na forma geral. Usando
,
e
obtemos
Comparando com as opções do enunciado, isso corresponde à opção (b).
Também explico rapidamente por que (a) e (c) estão erradas:
- A opção (a) tem
, isto é e portanto . Isso daria nós espaçados por , que contradiz o dado de nós a cada . - A opção (c) tem a parte espacial correta (
) mas a parte temporal corresponde a , ou seja . Com isso daria velocidade , diferente do fornecido no enunciado.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: aplicando a relação "distância entre nós =
" e as fórmulas básicas
e
com
, chegamos à expressão correta. Você já consegue repetir esse raciocínio na prova — respira fundo, faz a sequência: nós →
→
→
→
→ monta
. Tá indo bem!
Resposta
(b)