Um pesquisador que está estudando a propagação de ondas em uma corda observa a seguinte situação: uma onda estacionária se forma na corda, com nós (pontos de amplitude zero) a cada 0,5 \mathrm{~m}, amplitude de 2,0 \mathrm{~m} e velocidade de propagação de 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A equação que o pesquisador obtém para descrever a onda estacionária é
(a) y(\mathrm{x}, \mathrm{t})=2 \sin (\pi x) \cos (4 \pi t).
(b) y(\mathrm{x}, \mathrm{t})=2 \sin (2 \pi x) \cos (4 \pi t).
(c) y(\mathrm{x}, \mathrm{t})=2 \sin (2 \pi x) \cos (\pi t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a expressão correta para a onda estacionária:
  • Nós (pontos de amplitude zero) a cada 0,5\\ \mathrm{m}.
  • Amplitude máxima (da onda estacionária) igual a 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade de propagação v = 2,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Três opções de equação para a onda estacionária:
    (a) y(x,t)=2 \sin(\pi x) \cos(4\pi t).
    (b) y(x,t)=2 \sin(2\pi x) \cos(4\pi t).
    (c) y(x,t)=2 \sin(2\pi x) \cos(\pi t).
O que devemos determinar: qual dessas três expressões representa corretamente a onda estacionária que satisfaz as informações dadas.

Passo 2

Relação entre espaçamento de nós e comprimento de onda. Vamos entender o que significa "nós a cada 0,5\\ \mathrm{m}". Para uma onda estacionária, os nós ocorrem quando o fator espacial zera, ou seja quando \sin(kx)=0. Esses pontos estão separados por meia-onda. Portanto a distância entre nós consecutivos é
\frac{\lambda}{2}=0,5\\ \mathrm{m}.
Dessa igualdade obtemos o comprimento de onda \lambda:
\lambda = 2 \times 0,5 = 1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo do número de onda k. A relação entre número de onda e comprimento de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo \lambda=1{,}0\\ \mathrm{m} temos
k=\frac{2\pi}{1}=2\pi\\ \text{rad/m}.
Logo o fator espacial \sin(kx) vira \sin(2\pi x).

Passo 4

Cálculo da frequência e da pulsação \omega. A relação entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda é
v=f\lambda.
Isolando f e substituindo v=2{,}0\\ \mathrm{m/s} e \lambda=1{,}0\\ \mathrm{m} obtemos
f=\frac{v}{\lambda}=\frac{2{,}0}{1{,}0}=2{,}0\\ \text{Hz}.
A pulsação (frequência angular) é
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\\ \text{rad/s}.
Portanto o fator temporal \cos(\omega t) deve ser \cos(4\pi t).

Passo 5

Forma geral de uma onda estacionária e origem dessa forma. Uma onda estacionária que resulta da superposição de duas ondas viaja em sentidos opostos tem, de forma clássica, a expressão
y(x,t)=A_{\text{st}} \sin(kx)\cos(\omega t),
onde:
  • A_{\text{st}} é a amplitude máxima da onda estacionária (deslocamento máximo em x quando \cos(\omega t)=1);
  • k é o número de onda ( k=2\pi/\lambda);
  • \omega é a pulsação ( \omega=2\pi f).
Breve justificativa (porque isso aparece na prova): se tivermos duas ondas viajando com mesma amplitude C,
y_1 = C\sin(kx-\omega t),\qquad y_2 = C\sin(kx+\omega t),
usando a identidade de soma de senos \sin a + \sin b = 2\sin\big(\tfrac{a+b}{2}\big)\cos\big(\tfrac{a-b}{2}\big) obtemos
y_1+y_2 = 2C\sin(kx)\cos(\omega t).
Portanto a forma \sin(kx)\cos(\omega t) é natural; o coeficiente na frente (a amplitude da onda estacionária) depende da amplitude das ondas incidentes. No nosso enunciado a amplitude máxima da onda estacionária é dada como 2{,}0\\ \mathrm{m}, então A_{\text{st}}=2{,}0.

Passo 6

Substituição dos valores encontrados na forma geral. Usando A_{\text{st}}=2, k=2\pi e \omega=4\pi obtemos
y(x,t)=2 \sin(2\pi x)\cos(4\pi t).
Comparando com as opções do enunciado, isso corresponde à opção (b).
Também explico rapidamente por que (a) e (c) estão erradas:
  • A opção (a) tem \sin(\pi x), isto é k=\pi e portanto \lambda=2\\ \mathrm{m}. Isso daria nós espaçados por \lambda/2=1{,}0\\ \mathrm{m}, que contradiz o dado de nós a cada 0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • A opção (c) tem a parte espacial correta ( \sin(2\pi x)) mas a parte temporal \cos(\pi t) corresponde a \omega=\pi, ou seja f=\omega/(2\pi)=\tfrac{1}{2}\\ \text{Hz}. Com \lambda=1{,}0\\ \mathrm{m} isso daria velocidade v=f\lambda=0{,}5\\ \mathrm{m/s}, diferente do 2{,}0\\ \mathrm{m/s} fornecido no enunciado.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: aplicando a relação "distância entre nós = \lambda/2" e as fórmulas básicas k=2\pi/\lambda e \omega=2\pi f com v=f\lambda, chegamos à expressão correta. Você já consegue repetir esse raciocínio na prova — respira fundo, faz a sequência: nós → \lambda k f \omega → monta y(x,t). Tá indo bem!

Resposta

(b) y(x,t)=2 \sin(2 \pi x) \cos(4 \pi t)

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