Um pêndulo simples consiste de uma massa
puntiforme, suspensa por um fio (ou uma barra) inextensível de massa desprezível e de comprimento I, oscilando em torno de sua posição de
(a) Obtenha a equação diferencial característica desse sistema; equilíbrio.
(b) Mostre que, para pequenas oscilações, a trajetória do pêndulo pode ser descrita por um MHS, ou seja,
Dica: Use a expansão da função seno:
(a) Obtenha a equação diferencial característica desse sistema; equilíbrio.
(b) Mostre que, para pequenas oscilações, a trajetória do pêndulo pode ser descrita por um MHS, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Obter a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo simples.
- (b) Mostrar que, para pequenas oscilações, a solução é um movimento harmônico simples (MHS) da forma
Informações dadas e convenções que vou usar (para não haver confusão com letra maiúscula que lembra momento de inércia): a massa é pontual de massa
, o comprimento do fio é
(troquei o
do enunciado por
para não confundir com momento de inércia), e existe aceleração da gravidade
. A variável dinâmica é o ângulo
medido a partir da posição de equilíbrio vertical (posição de repouso). Não há atrito nem perda de energia no enunciado.
Passo 2
Montando as equações físicas (intuitivamente): a força peso
atua verticalmente para baixo; o braço do peso em relação ao pivô gera um torque que tende a restaurar o pêndulo para
. Vou calcular esse torque e usá-lo na segunda lei do movimento rotacional.
Definições e fórmulas que usamos:
- Torque (moment of force) devido ao peso em módulo é
. O sinal é negativo quando é medido para um lado porque a força tende a reduzir (restauradora). Portanto o torque escalar pode ser escrito como
Expliquei: o
aparece porque a componente tangencial do peso que produz rotação é
, multiplicada pelo braço
.
- Momento de inércia (rotacional) de uma massa pontual
a distância do pivô é
- A segunda lei para rotação (análogo a
) é
onde
é a aceleração angular, isto é
(segunda derivada do ângulo em relação ao tempo).
Passo 3
Agora substituo os valores do torque e do momento de inércia na segunda lei rotacional:
Começando com
substituindo
e
, obtemos
Posso simplificar dividindo por
(assumindo
e
):
Essa é a equação diferencial não-linear característica do pêndulo simples. É a resposta pedida no item (a).
Passo 4
Agora vamos mostrar (b): para pequenas oscilações usamos a expansão em série de Taylor da função seno (a dica do enunciado):
A série é
Quando o ângulo
é pequeno (em radianos),
, os termos de ordem
,
, … são muito menores que o termo linear
. Então, a primeira aproximação de ordem é
com erro da ordem de
. (Exemplo numérico rápido: se
rad,
, enquanto
; a diferença é pequena.)
Usando essa aproximação na equação não-linear do passo anterior, obtemos a equação linearizada:
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — a equação canônica do MHS.
Passo 5
Vamos resolver essa equação linearizada passo a passo.
Escrevo a equação como
onde defino
e portanto
(frequência angular do pêndulo).
Para resolver, uso o método clássico de equações lineares com coeficientes constantes: suponho uma solução do tipo
. Substituindo,
Como
, o polinômio característico é
As raízes são
Portanto a solução geral real da equação é combinação linear das funções
e
:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (ângulo inicial e velocidade angular inicial).
Passo 6
Mostrar a forma desejada com amplitude e fase. Usamos a identidade trigonométrica (soma de cosseno com seno pode ser reescrita como um único cosseno com deslocamento de fase):
Existe
e
tais que
Uma forma prática para encontrar
e
é:
e um
que satisfaz
,
(ou escolha análoga dependendo da forma com que você preferir escrever a fase; o importante é que sempre existe um
que combina as constantes). Assim obtemos a forma padrão de MHS pedida:
com
.
Observação prática e encorajamento: na prova, o essencial é (i) escrever a equação não linear
, (ii) justificar a aproximação
para pequenos
, e (iii) resolver a equação linear resultante mostrando que a solução é harmônica com
. Se te pedirem período, lembra que
. Vai dar tudo certo — respira fundo e aplica esses passos na prova.
Resposta
(a)
(b)
com
.