Um pêndulo simples oscila a pequenos ângulos na superfície da Terra. Seu deslocamento angular em função do tempo é dado por:
\theta(t)=0,20 \cos (5 t+0,2) \mathrm{rad}
Para este problema, utilize as seguintes aproximações:
  • g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ;
  • \pi=3;
  • para \alpha \ll 1,\left\{\begin{aligned} \sin (\alpha) & \approx \alpha \\\\\ \cos (\alpha) & \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\end{aligned}\right.
    Qual é o primeiro instante em que a energia cinética é máxima.
    (a) 0,26 \mathrm{~s}
    (b) 0,30 \mathrm{~s}
    (c) 0,45 \mathrm{~s}
    (d) 0,65 \mathrm{~s}
    (e) 0,78 \mathrm{~s}

Passo 1

  • O enunciado nos dá o deslocamento angular do pêndulo:
\theta(t)=0,20\cos(5t+0,2)\\ \text{rad}.
  • Aproximações fornecidas: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, \pi=3, e para \alpha\ll1 valem \sin(\alpha)\approx\alpha e \cos(\alpha)\approx1-\dfrac{\alpha^{2}}{2}.
  • Pergunta: qual é o primeiro instante em que a energia cinética é máxima? (fornecidas as alternativas (a)–(e)).
  • Dados relevantes extraídos do enunciado: amplitude angular inicial 0,20\\ \text{rad}, frequência angular \omega=5\\ \mathrm{s^{-1}}, fase inicial \varphi=0,2\\ \text{rad}.
  • Observação: as demais constantes ( g, aproximações pequenas, figura) estão disponíveis se for necessário.

Passo 2

Entender a relação entre energia cinética e \dot\theta (velocidade angular).
  • Para um pêndulo simples de massa m e comprimento L a velocidade linear da massa é v=L\dot\theta. A energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}m(L\dot\theta)^{2}=\tfrac{1}{2}mL^{2}\dot\theta^{2}.
  • Portanto, para sabermos quando T é máxima basta achar quando \dot\theta^{2} é máxima — ou seja, quando |\dot\theta| atinge seu valor máximo. Não precisamos do valor de m ou L porque eles apenas multiplicam \dot\theta^{2}.

Passo 3

Calcular \dot\theta(t) a partir de \theta(t).
  • Temos \theta(t)=0,20\cos(5t+0,2). A derivada em relação a t usa \dfrac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\,u'.
\dot\theta(t) = \dfrac{d}{dt}\big(0,20\cos(5t+0,2)\big) =0,20\cdot(-\sin(5t+0,2))\cdot(5).
  • Multiplicando os números:
\dot\theta(t) = -0,20\cdot5\;\sin(5t+0,2) = -1,0\sin(5t+0,2).

Passo 4

Determinar quando |\dot\theta| é máximo.
  • Como \dot\theta(t)=-1,0\sin(5t+0,2), temos
\dot\theta^{2}(t)=1,0^{2}\sin^{2}(5t+0,2)=1,0\sin^{2}(5t+0,2).
  • A função \sin^{2}(x) atinge seu máximo 1 quando \sin(x)=\pm1, isto é quando
5t+0,2=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Da expressão geral, os instantes em que a energia cinética é máxima são
t=\frac{\tfrac{\pi}{2}-0,2 + k\pi}{5}.

Passo 5

Achar o primeiro instante positivo (menor t>0).
  • Tomamos k=0 para o menor instante possível:
t_{1}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-0,2}{5}.
  • Usando a aproximação dada \pi=3, temos \tfrac{\pi}{2}=1,5. Substituindo:
t_{1}=\frac{1,5-0,2}{5}=\frac{1,3}{5}=0,26\\ \text{s}.
  • Verificação rápida: com k=-1 o numerador seria 1,5-0,2-3=-1,7 dando t<0, então k=0 realmente fornece o primeiro instante positivo.

Passo 6

Conclusão final: o primeiro instante em que a energia cinética é máxima é t=0,26\\ \text{s}, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

0,26 s (a)

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