Um pêndulo simples oscila a pequenos ângulos na superfície da Terra. Seu deslocamento angular em função do tempo é dado por:
\theta(t)=0,20 \cos (5 t+0,2) \mathrm{rad}
Para este problema, utilize as seguintes aproximações:
g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ;
\pi=3;
para \alpha \ll 1,\left\{\begin{aligned} \sin (\alpha) & \approx \alpha \\\\\ \cos (\alpha) & \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\end{aligned}\right.
Qual é o primeiro instante em que a energia cinética é máxima.
(a) 0,26 \mathrm{~s}
(b) 0,30 \mathrm{~s}
(c) 0,45 \mathrm{~s}
(d) 0,65 \mathrm{~s}
(e) 0,78 \mathrm{~s}
Passo 1
O enunciado nos dá o deslocamento angular do pêndulo:
\theta(t)=0,20\cos(5t+0,2)\\ \text{rad}.
Aproximações fornecidas: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, \pi=3, e para \alpha\ll1 valem \sin(\alpha)\approx\alpha e \cos(\alpha)\approx1-\dfrac{\alpha^{2}}{2}.
Pergunta: qual é o primeiro instante em que a energia cinética é máxima? (fornecidas as alternativas (a)–(e)).
Dados relevantes extraídos do enunciado: amplitude angular inicial 0,20\\ \text{rad}, frequência angular \omega=5\\ \mathrm{s^{-1}}, fase inicial \varphi=0,2\\ \text{rad}.
Observação: as demais constantes (g, aproximações pequenas, figura) estão disponíveis se for necessário.
Passo 2
Entender a relação entre energia cinética e \dot\theta (velocidade angular).
Para um pêndulo simples de massa m e comprimento L a velocidade linear da massa é v=L\dot\theta. A energia cinética é
Portanto, para sabermos quando T é máxima basta achar quando \dot\theta^{2} é máxima — ou seja, quando |\dot\theta| atinge seu valor máximo. Não precisamos do valor de m ou L porque eles apenas multiplicam \dot\theta^{2}.
Passo 3
Calcular \dot\theta(t) a partir de \theta(t).
Temos \theta(t)=0,20\cos(5t+0,2). A derivada em relação a t usa \dfrac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\,u'.