Um pêndulo simples oscila a pequenos ângulos na superfície da Terra. Seu deslocamento angular em função do tempo é dado por:
\theta(t)=0,20 \cos (5 t+0,2) \mathrm{rad}
Para este problema, utilize as seguintes aproximações:
  • g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ;
  • \pi=3;
  • para \alpha \ll 1,\left\{\begin{aligned} \sin (\alpha) & \approx \alpha \\\\\ \cos (\alpha) & \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\end{aligned}\right.
    Qual é a velocidade angular máxima, em módulo, que o pêndulo atinge?
    (a) 0,30 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
    (b) 0,45 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
    (c) 0,60 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
    (d) 0,80 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
    (e) 1,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento angular do pêndulo em função do tempo e pede a velocidade angular máxima em módulo. Informação e perguntas importantes (peguei tudo do enunciado):
  • Deslocamento angular: \theta(t)=0,20\cos(5t+0,2)\\ \mathrm{rad}.
  • Solicita: qual a velocidade angular máxima, em módulo, que o pêndulo atinge? (opções de (a) a (e)).
  • Aproximações fornecidas: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, \pi=3 e aproximações para senos e cossenos de pequenos ângulos. (Obs.: essas aproximações não serão necessárias para calcular a velocidade angular máxima a partir da forma temporal dada, mas foram fornecidas pelo enunciado.)

Passo 2

Entender a relação entre \theta(t) e a velocidade angular \dot{\theta}(t). Explicação didática:
  • A velocidade angular é a derivada temporal do deslocamento angular. Em notação, a velocidade angular instantânea é \dot{\theta}(t)=\dfrac{d\theta}{dt}.
  • Para uma função do tipo \theta(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude angular (em rad),
    • \omega é a frequência angular (em rad/s),
    • \varphi é a fase inicial (em rad),
    • aplica-se a regra da cadeia ao derivar: a derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u'.
  • Portanto, a derivada geral é
\dot{\theta}(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • O módulo da velocidade angular atinge seu máximo quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1, porque \sin varia entre -1 e 1. Logo o valor máximo em módulo é
\max|\dot{\theta}(t)| = A\omega.
Esta é uma propriedade padrão do movimento harmônico simples: a velocidade máxima é amplitude vezes frequência angular.

Passo 3

Aplicar a fórmula geral ao caso dado. Identificar A, \omega, \varphi na expressão fornecida:
  • Pela forma \theta(t)=0,20\cos(5t+0,2) segue que
    • A=0,20\\ \mathrm{rad},
    • \omega=5\\ \mathrm{rad/s},
    • \varphi=0,2\\ \mathrm{rad}.
  • Pelo resultado do passo anterior,
\max|\dot{\theta}(t)| = A\omega.

Passo 4

Calcular numericamente \max|\dot{\theta}(t)|:
\max|\dot{\theta}(t)| = (0,20)\times 5.
Fazer a multiplicação:
(0,20)\times 5 = 1,00.
Unidade: como A está em rad e \omega em rad/s, o produto tem unidade rad/s. Portanto
\max|\dot{\theta}(t)| = 1,00\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Conferir com as opções fornecidas: a opção que corresponde a 1,00\\ \mathrm{rad/s} é a alternativa (e). Pequeno comentário amigo: dá pra ficar tranquilo — bastou derivar e usar que o seno atinge \pm 1; as aproximações de pequenos ângulos e g não foram necessárias aqui porque a expressão de \theta(t) já fornece A e \omega.

Resposta

(e) 1,00\\ \mathrm{rad/s}

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