Um pêndulo simples oscila a pequenos ângulos na superfície da Terra. Seu deslocamento angular em função do tempo é dado por:
\theta(t)=0,20 \cos (5 t+0,2) \mathrm{rad}
Para este problema, utilize as seguintes aproximações:
  • g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ;
  • \pi=3;
  • para \alpha \ll 1,\left\{\begin{aligned} \sin (\alpha) & \approx \alpha \\\\\ \cos (\alpha) & \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{2}\end{aligned}\right.
    Qual é o valor do deslocamento angular inicial?
    (a) 0,123 \mathrm{rad}
    (b) 0,147 \mathrm{rad}
    (c) 0,164 rad
    (d) 0,196 \mathrm{rad}
    (e) 0,246 \mathrm{rad}

Passo 1

O enunciado dá a lei do deslocamento angular do pêndulo:
\theta(t)=0,20\cos(5t+0,2)\\ \mathrm{rad}.
O que é pedido: o deslocamento angular inicial, ou seja o valor de \theta no instante t=0.
Informações relevantes fornecidas que usarei:
  • A função \theta(t) acima (peguei esta expressão do enunciado).
  • A aproximação para \cos(\alpha) quando \alpha\ll1: \cos(\alpha)\approx 1-\dfrac{\alpha^{2}}{2} (pedida pelo enunciado).
  • Os valores numéricos nas constantes (por exemplo 0,20 e 0,2) são os dados a usar.

Passo 2

Definir matematicamente o deslocamento inicial: colocar t=0 em \theta(t).
\theta(0)=0,20\cos(5\cdot 0 + 0,2)=0,20\cos(0,2)\\ \mathrm{rad}.

Passo 3

Aplicar a aproximação dada para \cos(\alpha) com \alpha=0,2 (observe que 0,2 é pequeno comparado a 1, logo a aproximação é adequada):
\cos(0,2)\approx 1-\frac{(0,2)^{2}}{2}.
Calcular (0,2)^{2} e a metade:
(0,2)^{2}=0,04,\qquad \frac{0,04}{2}=0,02.
Portanto
\cos(0,2)\approx 1-0,02=0,98.

Passo 4

Multiplicar pelo fator 0,20 para obter \theta(0):
\theta(0)=0,20\cdot 0,98=0,196\\ \mathrm{rad}.
(Comentário rápido: usando uma calculadora com a função cosseno exata, \cos(0,2)\approx0,980066 e 0,20\cdot0,980066\approx0,196013, muito próximo de 0,196, então a aproximação foi boa.)

Resposta

(d) 0,196\\ \mathrm{rad}

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