(Pêndulo simples) Em um pêndulo simples, uma massa m está suspensa por um fio inextensível de comprimento L e oscila sob a influência da gravidade. Suponha que o ângulo de deslocamento \theta em relação à vertical é pequeno. Use a segunda lei de Newton para encontrar a equação diferencial para o ângulo \theta(t) do pêndulo em qualquer instante.

Passo 1

O enunciado nos dá um pêndulo simples com:
  • massa \;m\; presa a um fio inextensível de comprimento \;L\;;
  • movimento no plano vertical sob a gravidade \;g\;;
  • ângulo de deslocamento em relação à vertical \;\theta(t)\;, que é pequeno.
O que se pede: obter a equação diferencial que \;\theta(t)\; satisfaz em qualquer instante, usando a segunda lei de Newton. Vou listar claramente as quantidades que usarei:
  • \;m\; = massa (kg),
  • \;L\; = comprimento do fio (m),
  • \;g\; = aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • \;\theta(t)\; = ângulo em radianos (função do tempo).

Passo 2

Descrevendo as forças que atuam na massa (diagrama de corpo livre):
  • tensão do fio \;T\;, alinhada ao fio, apontando em direção ao ponto de suspensão;
  • peso \;m g\;, vertical para baixo.
Vou trabalhar na direção tangencial à trajetória circular (isto é, ao longo do arco), porque é nessa direção que aparece a aceleração que altera o ângulo \theta. Escolho sinal tal que quando \theta>0 a força tangencial restauradora seja negativa (aponta para diminuir \theta).

Passo 3

Explicando a segunda lei de Newton e a relação entre acelerações:
  • A segunda lei de Newton na forma escalar na direção tangencial diz:
\sum F_{\text{tang}} = m a_{\text{tang}}.
  • Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento tangencial: o deslocamento ao longo do arco é \;s=L\theta\; (isto é exato quando \theta está em radianos). Diferenciando duas vezes em relação ao tempo:
a_{\text{tang}}=\frac{d^2 s}{dt^2}=L\frac{d^2\theta}{dt^2}.
Portanto a aceleração tangencial da massa vale \;L\ddot{\theta}\;, onde uso a notação \;\ddot{\theta}=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}.

Passo 4

Componente tangencial do peso:
  • O peso \;m g\; tem uma componente tangencial que tenta restaurar a massa para a posição \theta=0. Geometricamente essa componente vale \;m g\sin\theta\; em módulo.
  • Tomando o sentido tangencial positivo no sentido de \theta crescente, a componente tangencial do peso é contrária a esse sentido (retornadora), logo é
F_{\text{tang}} = - m g \sin\theta.
(Explicação curta: para \theta>0 a força que puxa para o centro projeta-se sobre a direção tangencial com sinal negativo; para \theta<0 o sinal muda de acordo, e a fórmula acima funciona para ambos os casos.)

Passo 5

Aplicando a segunda lei na direção tangencial:
\sum F_{\text{tang}} = m a_{\text{tang}} \quad\Longrightarrow\quad - m g \sin\theta = m \bigl(L \ddot{\theta}\bigr).
Cancelando m dos dois lados:
L\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0.
Esta é a equação exata do pêndulo simples (não linear), válida para qualquer \theta.

Passo 6

Linearização para pequenos ângulos (usar hipótese do enunciado):
  • Para \theta pequeno (em radianos) vale a aproximação por série de Taylor:
\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \cdots \approx \theta.
  • Substituindo \sin\theta\approx\theta na equação anterior obtemos a equação linearizada:
L\ddot{\theta} + g\theta = 0.
Ou dividindo por L:
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0.

Passo 7

Interpretação e solução geral da equação linearizada:
  • Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • A solução geral (quando a aproximação \sin\theta\approx\theta é válida) é
\theta(t) = A\cos\!\bigl(\omega t + \varphi\bigr),
onde \;A\; (amplitude) e \;\varphi\; (fase) são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Período das pequenas oscilações:
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.

Resposta

L\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0
\text{(para ângulos pequenos: }\ddot{\theta} + \tfrac{g}{L}\,\theta = 0\text{)}â

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