(Pêndulo simples) Em um pêndulo simples, uma massa
está suspensa por um fio inextensível de comprimento
e oscila sob a influência da gravidade. Suponha que o ângulo de deslocamento
em relação à vertical é pequeno. Use a segunda lei de Newton para encontrar a equação diferencial para o ângulo
do pêndulo em qualquer instante.
Passo 1
O enunciado nos dá um pêndulo simples com:
- massa
presa a um fio inextensível de comprimento ; - movimento no plano vertical sob a gravidade
; - ângulo de deslocamento em relação à vertical
, que é pequeno.
O que se pede: obter a equação diferencial que
satisfaz em qualquer instante, usando a segunda lei de Newton. Vou listar claramente as quantidades que usarei:
-
= massa (kg), -
= comprimento do fio (m), -
= aceleração da gravidade (m/s ), -
= ângulo em radianos (função do tempo).
Passo 2
Descrevendo as forças que atuam na massa (diagrama de corpo livre):
- tensão do fio
, alinhada ao fio, apontando em direção ao ponto de suspensão; - peso
, vertical para baixo.
Vou trabalhar na direção tangencial à trajetória circular (isto é, ao longo do arco), porque é nessa direção que aparece a aceleração que altera o ângulo
. Escolho sinal tal que quando
a força tangencial restauradora seja negativa (aponta para diminuir
).
Passo 3
Explicando a segunda lei de Newton e a relação entre acelerações:
- A segunda lei de Newton na forma escalar na direção tangencial diz:
- Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento tangencial: o deslocamento ao longo do arco é
(isto é exato quando está em radianos). Diferenciando duas vezes em relação ao tempo:
Portanto a aceleração tangencial da massa vale
, onde uso a notação
.
Passo 4
Componente tangencial do peso:
- O peso
tem uma componente tangencial que tenta restaurar a massa para a posição . Geometricamente essa componente vale em módulo. - Tomando o sentido tangencial positivo no sentido de
crescente, a componente tangencial do peso é contrária a esse sentido (retornadora), logo é
(Explicação curta: para
a força que puxa para o centro projeta-se sobre a direção tangencial com sinal negativo; para
o sinal muda de acordo, e a fórmula acima funciona para ambos os casos.)
Passo 5
Aplicando a segunda lei na direção tangencial:
Cancelando
dos dois lados:
Esta é a equação exata do pêndulo simples (não linear), válida para qualquer
.
Passo 6
Linearização para pequenos ângulos (usar hipótese do enunciado):
- Para
pequeno (em radianos) vale a aproximação por série de Taylor:
- Substituindo
na equação anterior obtemos a equação linearizada:
Ou dividindo por
:
Passo 7
Interpretação e solução geral da equação linearizada:
- Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
- A solução geral (quando a aproximação
é válida) é
onde
(amplitude) e
(fase) são constantes determinadas pelas condições iniciais.
- Período das pequenas oscilações: