Questão 4 [2 pontos] Determinar qual/quais das seguintes matrizes é invertível. Em caso que seja, calcular a inversa.
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das duas matrizes dadas:
  • dizer se é invertível;
  • caso seja invertível, calcular a inversa.
As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\\\ 2 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 2

O que é preciso usar (ideia principal, sem começar a resolver ainda): uma matriz quadrada é invertível exatamente quando o seu determinante é diferente de zero. Além disso, para uma matriz 3\times3 invertível a fórmula prática é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Vou então:
  • calcular \det(A); se for não nulo, calcular os cofatores de A, formar \operatorname{adj}(A) e obter A^{-1};
  • calcular \det(B) (ou detectar dependência linear que torne \det(B)=0) para decidir invertibilidade de B.

Passo 3

Revisão rápida do que é determinante e cofator (pequena aula):
  • Para uma matriz 3\times3 com elementos a_{ij}, o determinante pode ser calculado pela expansão na primeira linha:
\det(A)=a_{11}\,M_{11}-a_{12}\,M_{12}+a_{13}\,M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna j (ou seja, um 2\times2). Em geral o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores: \operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{\mathsf T}.

Passo 4

Calcular \det(A) passo a passo (expansão pela primeira linha):
Primeiro calcule os menores 2\times2 correspondentes:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}=3\cdot2-0\cdot0=6.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot(-1)=2.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] -1 & 0 \end{pmatrix}=1\cdot0-3\cdot(-1)=3.
Agora a expansão:
\det(A)=2\cdot M_{11}-1\cdot M_{12}+(-1)\cdot M_{13}=2\cdot6-1\cdot2+(-1)\cdot3.
Calcule os termos:
2\cdot6=12,\quad -1\cdot2=-2,\quad (-1)\cdot3=-3.
Somando:
\det(A)=12-2-3=7.
Como \det(A)=7\neq0, a matriz A é invertível.]

Passo 5

Calcular os cofatores de A (vou listar cada menor e o respectivo cofator):
  • M_{11}=6 e C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+6.
  • M_{12}=2 e C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-2.
  • M_{13}=3 e C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+3.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-(-1)\cdot0=2, logo C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-2.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)\cdot(-1)=4-1=3, logo C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+3.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-1\cdot(-1)=1, logo C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-1)\cdot3=3, logo C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+3.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-(-1)\cdot1=1, logo C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=5, logo C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+5.
A matriz dos cofatores é
(C_{ij})=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 3\\[4pt] -2 & 3 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz. Aqui a matriz dos cofatores é simétrica, então
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 3\\[4pt] -2 & 3 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Usar a fórmula da inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3\\[4pt] -2 & 3 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Posso deixar assim ou escrever cada entrada como fração; fica mais compacto e claro desta forma.]

Passo 7

Agora analisar B. Observação direta sobre linhas: a primeira linha de B é (-1,-2,0) e a segunda linha é (2,4,0). Note que
(2,4,0) = -2\cdot(-1,-2,0),
ou seja, a segunda linha é múltiplo da primeira. Isso significa que as linhas são linearmente dependentes, portanto \det(B)=0 e B não é invertível.
Alternativamente, percebe-se que B é bloco-diagonal no sentido de que a terceira coluna/linha isola o 1 no canto inferior direito, e
\det(B)=\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\cdot 1.
Calculando esse determinante 2\times2:
(-1)\cdot4-(-2)\cdot2=-4-(-4)=0.
Logo \det(B)=0, confirmando que B não é invertível.]

Resposta

A^{-1}=\dfrac{1}{7}\displaystyle\begin{pmatrix}6 & -2 & 3\\[4pt]-2 & 3 & -1\\[4pt]3 & -1 & 5\end{pmatrix}
B não é invertível.]

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