Usando o método de cofatores, calcule o determinante da matriz
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
. A matriz fornecida é
O que se quer é o valor numérico de
.]
Passo 2
Vou usar o método de cofatores (expansão por cofatores). Lembrete do método:
- Para cada elemento
da matriz, o menor é a matriz obtida eliminando a linha e a coluna . - O cofator
é . - A expansão por cofatores ao longo da linha
é
Escolhi expandir pela primeira linha porque contém um zero (
), o que reduz cálculos.
Passo 3
Lista dos elementos da primeira linha e seus sinais de cofator:
-
com sinal (pois ). -
com sinal (pois ). -
(contribuição nula). -
com sinal (pois ).
Portanto
Lembrando que cada
. Vou calcular os determinantes dos menores
.
Passo 4
Calcular
. O menor
(eliminando linha
e coluna
) é
Para uma
posso usar a regra de Sarrus. Para uma matriz
vale
Aqui
. Calculando:
soma positiva
.
soma negativa
.
Logo
Logo
Como
, a contribuição de
é
.]
Passo 5
Calcular
. O menor
(eliminando linha
e coluna
) é
Usando Sarrus com
:
soma positiva
.
soma negativa
.
Portanto
Portanto
O cofator é
. A contribuição de
é
.
(Observação: é equivalente computar .)]
(Observação: é equivalente computar
Passo 6
O elemento
implica
; não há cálculo necessário para
.
Passo 7
Calcular
. O menor
(eliminando linha
e coluna
) é
Usando Sarrus com
:
soma positiva
.
soma negativa
.
Logo
Logo
O cofator é
. A contribuição de
é
.]
Passo 8
Agora somo todas as contribuições:
Isso é