Usando o método de cofatores, calcule o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O que se quer é o valor numérico de \det(A).]

Passo 2

Vou usar o método de cofatores (expansão por cofatores). Lembrete do método:
  • Para cada elemento a_{ij} da matriz, o menor M_{ij} é a matriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão por cofatores ao longo da linha 1 é
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} a_{1j}\,C_{1j}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}.
Escolhi expandir pela primeira linha porque contém um zero ( a_{13}=0), o que reduz cálculos.

Passo 3

Lista dos elementos da primeira linha e seus sinais de cofator:
  • a_{11}=1 com sinal +1 (pois (-1)^{1+1}=+1).
  • a_{12}=-1 com sinal -1 (pois (-1)^{1+2}=-1).
  • a_{13}=0 (contribuição nula).
  • a_{14}=3 com sinal -1 (pois (-1)^{1+4}=-1).
Portanto
\det(A)=1\cdot C_{11}+(-1)\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}+3\cdot C_{14}.
Lembrando que cada C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}). Vou calcular os determinantes dos menores M_{11},M_{12},M_{14}.

Passo 4

Calcular \det(M_{11}). O menor M_{11} (eliminando linha 1 e coluna 1) é
M_{11}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Para uma 3\times3 posso usar a regra de Sarrus. Para uma matriz \begin{pmatrix}a&b&c\\\ d&e&f\\\ g&h&i\end{pmatrix} vale
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + bdi + afh).
Aqui a=2,b=1,c=4,d=3,e=2,f=1,g=2,h=0,i=2. Calculando:
aei=2\cdot2\cdot2=8, \qquad bfg=1\cdot1\cdot2=2, \qquad cdh=4\cdot3\cdot0=0,
soma positiva =8+2+0=10.
ceg=4\cdot2\cdot2=16, \qquad bdi=1\cdot3\cdot2=6, \qquad afh=2\cdot1\cdot0=0,
soma negativa =16+6+0=22.
Logo
\det(M_{11})=10-22=-12.
Como C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+1\cdot(-12)=-12, a contribuição de a_{11} é 1\cdot(-12)=-12.]

Passo 5

Calcular \det(M_{12}). O menor M_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2) é
M_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Usando Sarrus com a=0,b=1,c=4,d=-1,e=2,f=1,g=1,h=0,i=2:
aei=0\cdot2\cdot2=0, \qquad bfg=1\cdot1\cdot1=1, \qquad cdh=4\cdot(-1)\cdot0=0,
soma positiva =1.
ceg=4\cdot2\cdot1=8, \qquad bdi=1\cdot(-1)\cdot2=-2, \qquad afh=0\cdot1\cdot0=0,
soma negativa =8+(-2)+0=6.
Portanto
\det(M_{12})=1-6=-5.
O cofator é C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-1\cdot(-5)=+5. A contribuição de a_{12} é a_{12}C_{12}=(-1)\cdot(+5)=-5.
(Observação: é equivalente computar a_{12}C_{12}=(-1)\cdot(-1)\cdot\det(M_{12})=\det(M_{12})=-5.)]

Passo 6

O elemento a_{13}=0 implica a_{13}C_{13}=0; não há cálculo necessário para M_{13}.

Passo 7

Calcular \det(M_{14}). O menor M_{14} (eliminando linha 1 e coluna 4) é
M_{14}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 3 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Usando Sarrus com a=0,b=2,c=1,d=-1,e=3,f=2,g=1,h=2,i=0:
aei=0\cdot3\cdot0=0, \qquad bfg=2\cdot2\cdot1=4, \qquad cdh=1\cdot(-1)\cdot2=-2,
soma positiva =4+(-2)=2.
ceg=1\cdot3\cdot1=3, \qquad bdi=2\cdot(-1)\cdot0=0, \qquad afh=0\cdot2\cdot2=0,
soma negativa =3+0+0=3.
Logo
\det(M_{14})=2-3=-1.
O cofator é C_{14}=(-1)^{1+4}\det(M_{14})=-1\cdot(-1)=+1. A contribuição de a_{14} é a_{14}C_{14}=3\cdot1=3.]

Passo 8

Agora somo todas as contribuições:
\det(A)=\underbrace{1\cdot(-12)}_{a_{11}C_{11}}+\underbrace{(-1)\cdot(5)}_{a_{12}C_{12}}+\underbrace{0}_{a_{13}C_{13}}+\underbrace{3\cdot1}_{a_{14}C_{14}}.
Isso é
\det(A)=-12-5+0+3=-14.

Resposta

-14

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