Um pêndulo simples, na Terra e no regime de baixas amplitudes, demora 1,75 s para transitar entre seus extremos de movimento (direito e esquerdo). Determine:
a. (2 pts) A frequência do pêndulo em Hz.
b. (2 pts) A frequência angular do pêndulo em rad/s.
c. (2 pts) O comprimento do pêndulo em cm .
d. (2 pts) O período do pêndulo se ele fosse transportado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é
em relação à da Terra.
a. (2 pts) A frequência do pêndulo em Hz.
b. (2 pts) A frequência angular do pêndulo em rad/s.
c. (2 pts) O comprimento do pêndulo em cm .
d. (2 pts) O período do pêndulo se ele fosse transportado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dado do enunciado: o pêndulo demora
para transitar entre seus extremos direito e esquerdo. (Peguei esse tempo diretamente do enunciado.) - Observação importante (útil para resolver): o tempo para ir de um extremo ao outro corresponde a metade do período de um movimento oscilatório completo.
- Constante que vou assumir: a aceleração da gravidade na Terra vale
(valor padrão, salvo indicação em contrário). - O enunciado pede:
a. (2 pts) a frequência do pêndulo em;
b. (2 pts) a frequência angular em;
c. (2 pts) o comprimento do pêndulo em;
d. (2 pts) o período do pêndulo na Lua, onde a gravidade éda da Terra.
Passo 2
Entender a relação entre o tempo dado e o período.
- Definição: o período
é o tempo de uma oscilação completa (voltar ao mesmo extremo com mesma direção). - Se o enunciado fornece o tempo para ir de um extremo ao outro, esse tempo é metade de uma oscilação completa. Portanto:
- Isolando
:
Explicando em palavras: quando o pêndulo sai do extremo direito, chega ao extremo esquerdo em metade do ciclo; voltar ao direito completa o período.
Passo 3
Calcular a frequência
e explicar o conceito.
- Definição: a frequência
é o número de oscilações por segundo, medida em hertz ( ). A relação entre período e frequência é
onde
é o período em segundos.
- Substituindo
:
- Arredondando sensivelmente (4 casas decimais) para apresentação:
Comentário didático: na prova, se pedirem frequência e você tem o período, sempre faça
. Aqui deu uma fração simples
, o que é conveniente.
Passo 4
Calcular a frequência angular
e explicar o que ela representa.
- Definição: a frequência angular
está relacionada à frequência normal por
Aqui
tem unidade
e mede quantos radianos a fase do movimento percorre por segundo.
- Usando
também vale
- Substituindo
:
- Valor numérico (com 4 casas decimais):
Dica prática: apresentar a forma exata
é elegante; para cálculos numéricos use a aproximação acima.
Passo 5
Formula do período do pêndulo simples (baixas amplitudes) — aula rápida.
- Para um pêndulo simples em regime de pequenas amplitudes, a aproximação leva a um movimento harmônico simples com período
onde:
-
é o período (s), -
é o comprimento do pêndulo (m), -
é a aceleração da gravidade (m/s ). - Essa fórmula vem de linearizar a equação do pêndulo para pequenos ângulos (
), resultando numa equação do tipo , cuja solução tem pulsação e período .
Passo 6
Isolar
na fórmula e calcular o comprimento em metros e depois converter para centímetros, mostrando todas as contas.
- A partir de
isola-se
elevando ao quadrado:
- Substituindo
e :
- Converter para centímetros (
):
- Arredondando de forma razoável (duas casas após a vírgula para centímetros):
Dica de prova: se o problema pede em cm, faça a conta em metros e multiplique por 100 no final, como fizemos.
Passo 7
Período do pêndulo na Lua (gravidade
da Terra) — raciocínio e cálculo.
- Se
, então usando a fórmula do período:
- Comparando com o período na Terra
, obtém-se a relação simples
- Substituindo
:
- Arredondando sensivelmente:
Interpretação rápida: na Lua o pêndulo oscila mais lentamente porque a gravidade é menor; o período cresce com
.
Passo 8
Resumo final dos resultados (valores numéricos apresentados com unidades e arredondamento razoável). Um empurrãozinho final: boa — você já conseguiu transformar o tempo dado em tudo que foi pedido!