Um pêndulo simples, na Terra e no regime de baixas amplitudes, demora 1,75 s para transitar entre seus extremos de movimento (direito e esquerdo). Determine:
a. (2 pts) A frequência do pêndulo em Hz.
b. (2 pts) A frequência angular do pêndulo em rad/s.
c. (2 pts) O comprimento do pêndulo em cm .
d. (2 pts) O período do pêndulo se ele fosse transportado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é 1 / 6 em relação à da Terra.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dado do enunciado: o pêndulo demora 1,75\\ \mathrm{s} para transitar entre seus extremos direito e esquerdo. (Peguei esse tempo diretamente do enunciado.)
  • Observação importante (útil para resolver): o tempo para ir de um extremo ao outro corresponde a metade do período de um movimento oscilatório completo.
  • Constante que vou assumir: a aceleração da gravidade na Terra vale \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (valor padrão, salvo indicação em contrário).
  • O enunciado pede:
    a. (2 pts) a frequência do pêndulo em \mathrm{Hz};
    b. (2 pts) a frequência angular em \mathrm{rad/s};
    c. (2 pts) o comprimento do pêndulo em \mathrm{cm};
    d. (2 pts) o período do pêndulo na Lua, onde a gravidade é \tfrac{1}{6} da da Terra.

Passo 2

Entender a relação entre o tempo dado e o período.
  • Definição: o período T é o tempo de uma oscilação completa (voltar ao mesmo extremo com mesma direção).
  • Se o enunciado fornece o tempo para ir de um extremo ao outro, esse tempo é metade de uma oscilação completa. Portanto:
\frac{T}{2} = 1,75\\ \mathrm{s}.
  • Isolando T:
T = 2 \times 1,75 = 3,50\\ \mathrm{s}.
Explicando em palavras: quando o pêndulo sai do extremo direito, chega ao extremo esquerdo em metade do ciclo; voltar ao direito completa o período.

Passo 3

Calcular a frequência f e explicar o conceito.
  • Definição: a frequência f é o número de oscilações por segundo, medida em hertz ( \mathrm{Hz}). A relação entre período e frequência é
f = \frac{1}{T},
onde T é o período em segundos.
  • Substituindo T=3,50\\ \mathrm{s}:
f = \frac{1}{3,50} = \frac{2}{7} \approx 0,285714\ldots
  • Arredondando sensivelmente (4 casas decimais) para apresentação:
f \approx 0,2857\\ \mathrm{Hz}.
Comentário didático: na prova, se pedirem frequência e você tem o período, sempre faça f=1/T. Aqui deu uma fração simples \tfrac{2}{7}, o que é conveniente.

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega e explicar o que ela representa.
  • Definição: a frequência angular \omega está relacionada à frequência normal por
\omega = 2\pi f.
Aqui \omega tem unidade \mathrm{rad/s} e mede quantos radianos a fase do movimento percorre por segundo.
  • Usando f=\dfrac{1}{T} também vale
\omega = \frac{2\pi}{T}.
  • Substituindo T=3,50\\ \mathrm{s}:
\omega = \frac{2\pi}{3,50} = \frac{4\pi}{7}.
  • Valor numérico (com 4 casas decimais):
\omega \approx 1,7952\\ \mathrm{rad/s}.
Dica prática: apresentar a forma exata \dfrac{4\pi}{7} é elegante; para cálculos numéricos use a aproximação acima.

Passo 5

Formula do período do pêndulo simples (baixas amplitudes) — aula rápida.
  • Para um pêndulo simples em regime de pequenas amplitudes, a aproximação leva a um movimento harmônico simples com período
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde:
  • T é o período (s),
  • L é o comprimento do pêndulo (m),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2).
  • Essa fórmula vem de linearizar a equação do pêndulo para pequenos ângulos ( \sin\theta\approx\theta), resultando numa equação do tipo \ddot{\theta} + \dfrac{g}{L}\theta = 0, cuja solução tem pulsação \omega=\sqrt{g/L} e período T=2\pi/\omega.

Passo 6

Isolar L na fórmula e calcular o comprimento em metros e depois converter para centímetros, mostrando todas as contas.
  • A partir de
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
isola-se L elevando ao quadrado:
\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2} = \frac{L}{g} \quad\Rightarrow\quad L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}.
  • Substituindo T=3,50\\ \mathrm{s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\frac{T}{2\pi} = \frac{3,50}{2\pi} \approx 0,557042\ldots
\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2} \approx 0,310321\ldots
L = 9,8 \times 0,310321\ldots \approx 3,041138\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros ( 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}):
L \approx 3,041138\\ \mathrm{m} = 304,1138\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas após a vírgula para centímetros):
L \approx 304,11\\ \mathrm{cm}.
Dica de prova: se o problema pede em cm, faça a conta em metros e multiplique por 100 no final, como fizemos.

Passo 7

Período do pêndulo na Lua (gravidade \tfrac{1}{6} da Terra) — raciocínio e cálculo.
  • Se g_{\text{Lua}} = \dfrac{g_{\text{Terra}}}{6}, então usando a fórmula do período:
T_{\text{Lua}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{Lua}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g/6}} = 2\pi\sqrt{\frac{6L}{g}}.
  • Comparando com o período na Terra T_{\text{Terra}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}, obtém-se a relação simples
T_{\text{Lua}} = \sqrt{6}\;T_{\text{Terra}}.
  • Substituindo T_{\text{Terra}}=3,50\\ \mathrm{s}:
T_{\text{Lua}} = 3,50 \times \sqrt{6} \approx 3,50 \times 2,4494897\ldots \approx 8,573214\ldots\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando sensivelmente:
T_{\text{Lua}} \approx 8,57\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: na Lua o pêndulo oscila mais lentamente porque a gravidade é menor; o período cresce com 1/\sqrt{g}.

Passo 8

Resumo final dos resultados (valores numéricos apresentados com unidades e arredondamento razoável). Um empurrãozinho final: boa — você já conseguiu transformar o tempo dado em tudo que foi pedido!

Resposta

f \approx 0,2857\\ \mathrm{Hz}
\omega \approx 1,7952\\ \mathrm{rad/s}
L \approx 304,11\\ \mathrm{cm}
T_{\text{Lua}} \approx 8,57\\ \mathrm{s}

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