(2,0 pontos) Uma barra nāo homogènea de
de comprimento tem seu centro de massa a uma distância de 25 cm de uma das extremidades. A barra è suspensa por sua extremidade mais próxima do centro de massa,
, e funciona como um pèndulo físico de periodo
em um lugar onde a aceleraçāo da gravidade é
. O momento de inércia da barra em relaçāo a um eixo perpendícular à barra e que passa por seu centro de massa pode ser escrito como
, onde
é um número maior que zero,
a massa da barra
seu comprimento.
(a) Determine o valor de
para a barra descrita no problema? Este valor é maior, menor, ou igual ao valor para uma barra homogènea,
?
(b) Existe um outro ponto
ao longo da barra que estas pode ser presa que também resulta em um período de oscilaçào
. Determine h para este ponto.
(a) Determine o valor de
(b) Existe um outro ponto
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
- Comprimento da barra:
. - O centro de massa está a
de uma das extremidades. A barra é suspensa por essa extremidade mais próxima do CM, portanto a distância do ponto de suspensão ao centro de massa é (essa é a situação que produz o período dado). - Período observado:
. - Aceleração da gravidade:
. - O momento de inércia em torno do centro de massa é dado por
, onde é a constante que queremos achar (parte (a)).
As questões são:
(a) Determinar o valor de. Comparar com o valor para uma barra homogênea .
(b) Encontrar outro ponto (distânciaa partir do centro de massa) onde a barra pode ser presa e também ter o mesmo período .
Além disso o enunciado fornece as fórmulas úteis (período do pêndulo físico e teorema dos eixos):
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
- Período do pêndulo físico: para um corpo rígido que oscila em torno de um eixo fixo a uma distância
do seu centro de massa, o período é
onde:
-
é o período (segundos), -
é o momento de inércia do corpo relativo ao eixo de rotação (kg·m^2), -
é a massa (kg), -
é a aceleração da gravidade (m/s^2), -
é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa (m).
Essa fórmula resulta de linearizar o torque restaurador para pequenas oscilações e reconhecer a forma de um MHS (movimento harmônico simples). - Teorema dos eixos (Steiner / eixo paralelo): o momento de inércia em relação a um eixo paralelo que fica a uma distância
do centro de massa é
No nosso caso
, portanto
Substituindo
na expressão do período obtemos uma relação envolvendo
,
,
,
e
. Essa relação será a equação que vamos resolver.
Passo 3
Montar a equação que relaciona
com os dados. Substituindo
em
:
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos (
,
,
,
) e calculamos passo a passo.
Passo 4
Cálculos numéricos detalhados para
:
- Primeiro calcule
.
- Agora
:
- Subtrair
e dividir por :
Arredondando com sentido prático:
.
Comparação com barra homogênea:
. Portanto o
encontrado é maior que
.
Passo 5
Agora (parte (b)) buscamos outro ponto
tal que o período seja o mesmo. Partimos da equação geral já escrita:
Multiplicando e arrumando em forma de equação quadrática em
:
Esta é uma quadrática do tipo
com
A solução usa a fórmula quadrática:
Passo 6
Cálculo numérico das raízes (detalhado):
- Já temos
. Então
- E
. - Discriminante:
- Raiz quadrada:
- As duas soluções:
Uma das raízes
corresponde (com pequena diferença numérica de arredondamento) ao caso conhecido
– é a suspensão pela extremidade mais próxima do CM. A outra raiz é o outro ponto que produz o mesmo período:
Passo 7
Verificação física rápida:
- Distâncias do centro de massa às extremidades são
(perto) e (longe). O segundo valor é menor que , logo corresponde a um ponto situado dentro da barra do lado da extremidade mais distante do CM — ou seja, é um ponto físico válido onde se pode prender a barra. - Conclusão: há dois pontos ao longo da barra que dão o mesmo período (como normalmente acontece com pêndulos físicos): um a
(já dado) e o outro a aproximadamente do CM.