Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(k, t)=0,0236 sen (60,3 x-3,90 t), onde as constantes estão em unidades do S.I. Qual a velocidade da onda?

Passo 1

O enunciado fornece a função de onda (peguei estes números do enunciado):
y(k,t)=0,0236\\ \operatorname{sen}\,(60,3\,x-3,90\,t).
As informações relevantes extraídas:
  • Amplitude: A=0,0236 (metros).
  • Coeficiente do termo em x: 60,3 (unidade: \text{rad}/\text{m}).
  • Coeficiente do termo em t: 3,90 (unidade: \text{rad}/\text{s}).
    O que o problema pede: determinar a velocidade da onda.

Passo 2

Vamos entender a forma geral e as fórmulas que vamos usar (uma mini-aula rápida e bem prática).
Uma onda harmônica que se propaga numa corda costuma ser escrita como
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (em metros);
  • k é o número de onda (em \text{rad}/\text{m}); ele está relacionado com o comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular (em \text{rad}/\text{s}); ela está relacionada com a frequência f por
\omega=2\pi f.
A velocidade de propagação da onda v pode ser obtida de várias formas equivalentes. Duas relações úteis:
v=\lambda f \qquad\text{e}\qquad v=\frac{\omega}{k}.
Um modo de ver por que v=\dfrac{\omega}{k}: manter a fase constante kx-\omega t=\text{const} x=(\omega/k)t+\text{const}, portanto a velocidade de propagação da fase é v=\omega/k.

Passo 3

Identificar k e \omega na expressão dada (peguei estes valores do enunciado):
  • Coeficiente do x: k=60,3\\ \text{rad}/\text{m}.
  • Coeficiente do t: \omega=3,90\\ \text{rad}/\text{s}.
    (A amplitude não entra no cálculo da velocidade.)

Passo 4

Calcular a velocidade usando v=\dfrac{\omega}{k}. Escrevendo e simplificando:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{3,90}{60,3}=\frac{39}{603}=\frac{13}{201}.
Agora a aproximação decimal:
\frac{13}{201}\approx0,0647\\ \text{m/s}.

Passo 5

Verificação (opcional, mas bom para a prova): calcular \lambda e f e checar v=\lambda f.
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{60,3}\approx0,1042\\ \text{m},
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3,90}{2\pi}\approx0,6206\\ \text{Hz},
\lambda f\approx0,1042\times0,6206\approx0,0647\\ \text{m/s},
que coincide com o valor calculado anteriormente.

Resposta

v\approx0,0647\\ \text{m/s}

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