Um pêndulo é solto à partir do repouso da posição indicada. Calcule a velocidade da massa
ao passar pela posição mais baixa da trajetória.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos um pêndulo que está sendo solto da posição de repouso com um certo ângulo. Queremos descobrir a velocidade da massa $ m $ quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, aplicando o Princípio da Conservação da Energia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Comprimento do pêndulo, $ L = 20 , cm = 0,2 , m $
- Massa, $ m = 30 , g = 0,03 , kg $
- Ângulo inicial, $ \theta = 20^\circ $
Passo 3
Vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ($ U
K $) no ponto mais baixo, já que não há perdas de energia. A fórmula para a conservação da energia fica:
Passo 4
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $)
- $ h $ é a altura que a massa sobe.
Passo 5
Precisamos encontrar a altura $ h $. Quando o pêndulo está no ângulo $ \theta $, a altura pode ser calculada usando trigonometria. A altura é a diferença entre o comprimento do pêndulo e a projeção vertical:
Passo 6
Vamos calcular $ h $:
Primeiro, calculamos $ \cos(20^\circ) $:
Então:
Passo 7
Agora, calculamos a energia potencial inicial:
Passo 8
Essa energia potencial se transforma em energia cinética no ponto mais baixo. A energia cinética é dada por:
Igualando $ U $ e $ K $:
Passo 9
Resolvendo para $ v $:
Resposta
A velocidade da massa $ m $ ao passar pela posição mais baixa da trajetória é aproximadamente $ 0,49 , m/s $.