Um pêndulo é solto à partir do repouso da posição indicada. Calcule a velocidade da massa m ao passar pela posição mais baixa da trajetória. L=20 cm, m=30 g e theta=20^circ.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolver. Temos um pêndulo que está sendo solto da posição de repouso com um certo ângulo. Queremos descobrir a velocidade da massa $ m $ quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, aplicando o Princípio da Conservação da Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento do pêndulo, $ L = 20 , cm = 0,2 , m $
  • Massa, $ m = 30 , g = 0,03 , kg $
  • Ângulo inicial, $ \theta = 20^\circ $

Passo 3

Vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ($ U U áé K $) no ponto mais baixo, já que não há perdas de energia. A fórmula para a conservação da energia fica:
K

Passo 4

A energia potencial gravitacional é dada por:
U = m cdot g cdot h
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $)
  • $ h $ é a altura que a massa sobe.

Passo 5

Precisamos encontrar a altura $ h $. Quando o pêndulo está no ângulo $ \theta $, a altura pode ser calculada usando trigonometria. A altura é a diferença entre o comprimento do pêndulo e a projeção vertical:
h

Passo 6

Vamos calcular $ h $:
h
Primeiro, calculamos $ \cos(20^\circ) $:
h = 0,2 , m times (1 - cos(20^circ))
Então:
cos(20^circ)

Passo 7

Agora, calculamos a energia potencial inicial:
U = m cdot g cdot h = 0,03 , kg times 9,8 , m/s^2 times 0,01206 , m approx 0,00355 , J

Passo 8

Essa energia potencial se transforma em energia cinética no ponto mais baixo. A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
Igualando $ U $ e $ K $:
U

Passo 9

Resolvendo para $ v $:
v

Resposta

A velocidade da massa $ m $ ao passar pela posição mais baixa da trajetória é aproximadamente $ 0,49 , m/s $.

Exercícios relacionados