1. Ao penetrar, com velocidade \vec{v} em uma região na qual existe um campo magnético uniforme, um próton fica sujeito à ação de uma força magnética devida a esse campo. Considere que apenas essa força esteja agindo sobre o próton e que as direções da velocidade do próton e do campo magnético sejam perpendiculares entre si.
    A ação dessa força
    a) altera tanto o módulo da velocidade do próton quanto a direção dessa velocidade.
    b) não altera o módulo da velocidade do próton nem a direção dessa velocidade.
    c) não altera o módulo da velocidade do próton, mas altera a direção dessa velocidade.
    d) diminui o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.
    e) aumenta o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Uma partícula: um próton, com carga positiva q e massa m.
  • Velocidade inicial do próton: \vec{v}.
  • Região com campo magnético uniforme: \vec{B}.
  • A velocidade \vec{v} e o campo \vec{B} são perpendiculares entre si.
  • Supõe-se que apenas a força magnética atua sobre o próton (ou seja, nenhuma outra força externa faz trabalho).
    O que se pergunta é qual é o efeito dessa força sobre o próton, entre as alternativas (a)–(e): se ela altera o módulo (velocidade escalar) e/ou a direção do vetor velocidade.

Passo 2

Fórmula da força magnética (lei de Lorentz para a parte magnética):
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga elétrica da partícula (para o próton q=+e>0);
  • \vec{v} é o vetor velocidade da partícula;
  • \vec{B} é o vetor do campo magnético;
  • \times é o produto vetorial (cross product), que produz um vetor perpendicular a ambos \vec{v} e \vec{B}.
Magnitude da força: a magnitude do produto vetorial é
F=|q|\,vB\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Como no enunciado \vec{v}\perp\vec{B}, tem-se \theta=90^\circ e \sin\theta=1, portanto
F=|q|\,vB.
Conclusão imediata: a força tem módulo proporcional a v e aponta perpendicularmente à direção da velocidade.

Passo 3

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade (para \vec{v} e \vec{B} não colineares). Isso implica que o trabalho instantâneo realizado pela força magnética sobre a partícula é zero. Para ver isso, escrevemos o diferencial de trabalho numa pequena etapa:
dW=\vec{F}\cdot d\vec{s}=\vec{F}\cdot(\vec{v}\,dt).
Como \vec{F}\perp\vec{v}, o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{v}=0; assim dW=0. Portanto a força magnética não realiza trabalho sobre a partícula em nenhum instante. Se não há trabalho, a energia cinética da partícula permanece constante. A energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m v^2,
onde v=|\vec{v}| é o módulo da velocidade. Com K constante, o módulo v permanece constante.

Passo 4

Mesmo com o módulo v constante, uma força perpendicular à velocidade causa aceleração perpendicular à velocidade, ou seja, muda a direção do vetor velocidade. Pela segunda lei de Newton:
\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m},
e \vec{a} é perpendicular a \vec{v}. Uma aceleração sempre perpendicular à velocidade é justamente a condição para movimento circular uniforme (velocidade escalar constante, direção mudando continuamente). Igualando a força magnética à força centrípeta necessária para manter a partícula numa órbita circular de raio r,
\frac{m v^2}{r}=q v B,
onde foi usado F=qvB. Simplificando por v (assumindo v\neq0),
r=\frac{m v}{q B}.
Aqui r é constante enquanto v, q, m e B forem constantes, confirmando que a trajetória é uma circunferência com velocidade escalar constante mas direção variável.

Passo 5

Resumo interpretativo e conclusão: a força magnética, sendo sempre perpendicular à velocidade, não faz trabalho e, portanto, não altera o módulo da velocidade do próton; entretanto essa mesma força é perpendicular e não-nula, provocando aceleração centrípeta que altera continuamente a direção da velocidade (trajetória circular). Logo, a única opção correta é a que diz que o módulo não é alterado, mas a direção é alterada.

Resposta

c) não altera o módulo da velocidade do próton, mas altera a direção dessa velocidade.

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