- Ao penetrar, com velocidade
em uma região na qual existe um campo magnético uniforme, um próton fica sujeito à ação de uma força magnética devida a esse campo. Considere que apenas essa força esteja agindo sobre o próton e que as direções da velocidade do próton e do campo magnético sejam perpendiculares entre si.
A ação dessa força
a) altera tanto o módulo da velocidade do próton quanto a direção dessa velocidade.
b) não altera o módulo da velocidade do próton nem a direção dessa velocidade.
c) não altera o módulo da velocidade do próton, mas altera a direção dessa velocidade.
d) diminui o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.
e) aumenta o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.
A ação dessa força
a) altera tanto o módulo da velocidade do próton quanto a direção dessa velocidade.
b) não altera o módulo da velocidade do próton nem a direção dessa velocidade.
c) não altera o módulo da velocidade do próton, mas altera a direção dessa velocidade.
d) diminui o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.
e) aumenta o módulo da velocidade do próton, mas não altera a direção dessa velocidade.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Uma partícula: um próton, com carga positiva
e massa . - Velocidade inicial do próton:
. - Região com campo magnético uniforme:
. - A velocidade
e o campo são perpendiculares entre si. - Supõe-se que apenas a força magnética atua sobre o próton (ou seja, nenhuma outra força externa faz trabalho).
O que se pergunta é qual é o efeito dessa força sobre o próton, entre as alternativas (a)–(e): se ela altera o módulo (velocidade escalar) e/ou a direção do vetor velocidade.
Passo 2
Fórmula da força magnética (lei de Lorentz para a parte magnética):
Explicando cada símbolo:
-
é a carga elétrica da partícula (para o próton ); -
é o vetor velocidade da partícula; -
é o vetor do campo magnético; -
é o produto vetorial (cross product), que produz um vetor perpendicular a ambos e .
Magnitude da força: a magnitude do produto vetorial é
onde
é o ângulo entre
e
. Como no enunciado
, tem-se
e
, portanto
Conclusão imediata: a força tem módulo proporcional a
e aponta perpendicularmente à direção da velocidade.
Passo 3
A força magnética é sempre perpendicular à velocidade (para
e
não colineares). Isso implica que o trabalho instantâneo realizado pela força magnética sobre a partícula é zero. Para ver isso, escrevemos o diferencial de trabalho numa pequena etapa:
Como
, o produto escalar
; assim
. Portanto a força magnética não realiza trabalho sobre a partícula em nenhum instante. Se não há trabalho, a energia cinética da partícula permanece constante. A energia cinética é
onde
é o módulo da velocidade. Com
constante, o módulo
permanece constante.
Passo 4
Mesmo com o módulo
constante, uma força perpendicular à velocidade causa aceleração perpendicular à velocidade, ou seja, muda a direção do vetor velocidade. Pela segunda lei de Newton:
e
é perpendicular a
. Uma aceleração sempre perpendicular à velocidade é justamente a condição para movimento circular uniforme (velocidade escalar constante, direção mudando continuamente). Igualando a força magnética à força centrípeta necessária para manter a partícula numa órbita circular de raio
,
onde foi usado
. Simplificando por
(assumindo
),
Aqui
é constante enquanto
,
,
e
forem constantes, confirmando que a trajetória é uma circunferência com velocidade escalar constante mas direção variável.
Passo 5
Resumo interpretativo e conclusão: a força magnética, sendo sempre perpendicular à velocidade, não faz trabalho e, portanto, não altera o módulo da velocidade do próton; entretanto essa mesma força é perpendicular e não-nula, provocando aceleração centrípeta que altera continuamente a direção da velocidade (trajetória circular). Logo, a única opção correta é a que diz que o módulo não é alterado, mas a direção é alterada.
Resposta
c) não altera o módulo da velocidade do próton, mas altera a direção dessa velocidade.