PENSE Este problema envolve os níveis de energia de um elétron atômico.
FORMULE A componente z do momento angular orbital de um elétron atômico é dada por
L_{\mathrm{orb}, z}=\frac{m_{\ell} h}{2 \pi}em que m_{\ell} é o número quântico magnético orbital e h é a constante de Planck. A componente z do momento dipolar magnético orbital é dada por
\mu_{\mathrm{orb}, z}=-m_{\ell} \mu_{\mathrm{B}}em que \mu_{\mathrm{B}}=e h / 4 \pi m é o magnéton de Bohr. Quando o elétron é submetido a um campo magnético externo \vec{B}_{\text {ext }}, a energia associada à orientação de \vec{\mu}_{\text {orb }} é dada por
U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B}_{\mathrm{ext}}
Para m_{\ell}=3, a energia orientacional associada ao momento magnético orbital do elétron é
U=-\mu_{\mathrm{orb}, z} B_{\mathrm{ext}}=-\left(2,78 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{T}\right)\left(35 \times 10^{-3} \mathrm{~T}\right)=-9,7 \times 10^{-25} \mathrm{~J}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
  • Pede-se a energia orientacional U associada ao momento magnético orbital do elétron quando m_{\ell}=3 e o campo magnético externo tem magnitude B_{\mathrm{ext}}=35\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}.\n
  • Fórmulas e dados fornecidos:\n
    \displaystyle L_{\mathrm{orb},z}=\frac{m_{\ell} h}{2\pi}\n
    \displaystyle \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\,\mu_{\mathrm{B}}\n
    \displaystyle \mu_{\mathrm{B}}=\frac{e h}{4\pi m} (magnéton de Bohr)\n
    \displaystyle U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}}\cdot\vec{B}_{\mathrm{ext}}\n
    valor numérico do campo: \displaystyle B_{\mathrm{ext}}=35\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}.\n
  • O enunciado também usou o valor numérico (implícito) do produto 3\mu_{\mathrm{B}}=2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T}.\n
    Observação importante sobre sinais: aqui a componente z do momento magnético orbital é \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}. Com m_{\ell}=3 isso dá um valor negativo para \mu_{\mathrm{orb},z}; ao calcular U=-\mu_{\mathrm{orb},z}B_{\mathrm{ext}} o sinal muda.

Passo 2

Entendendo fisicamente as fórmulas (aula curta):\n
  • \mu_{\mathrm{orb},z} é a componente z do momento magnético orbital. A fórmula \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}} indica que o sinal do momento magnético orbital é oposto ao sinal de m_{\ell}. Aqui m_{\ell} é um número quântico inteiro que descreve a projeção do momento angular orbital.\n
  • O magnéton de Bohr \mu_{\mathrm{B}} é uma constante que tem dimensão de momento magnético por unidade de campo, com unidade \mathrm{J/T}. Numericamente \mu_{\mathrm{B}}\approx 9,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{J/T}.\n
  • A energia de orientação U é dada por U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}. Para \vec{B} ao longo de z e usando só a componente z, isso vira U=-\mu_{\mathrm{orb},z}B_{\mathrm{ext}}. O sinal vem do fato de que configurações alinhadas de \vec{\mu} com \vec{B} tendem a minimizar a energia quando \mu é paralelo a B dependendo do sinal de \mu.

Passo 3

Calcular numericamente a componente \mu_{\mathrm{orb},z}:\n
  • Primeiro usamos o valor aproximado de \mu_{\mathrm{B}}: \displaystyle \mu_{\mathrm{B}\!}\approx 9,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{J/T}.\n
  • Aplicando \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}} com m_{\ell}=3:\n
\mu_{\mathrm{orb},z}=-3\mu_{\mathrm{B}}=-3\times\left(9,27\times 10^{-24}\right)\\ \mathrm{J/T}.\n
  • Multiplicando os mantissas:\n
-3\times 9,27 = -27,81,
então, ajustando a potência de dez,
\mu_{\mathrm{orb},z}=-2,781\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T}.\n
  • Arredondando para três algarismos significativos temos\n
\mu_{\mathrm{orb},z}=-2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T},
que é o valor utilizado no enunciado para o produto 3\mu_{\mathrm{B}}.

Passo 4

Montar a expressão para U e interpretar o sinal:\n
  • A expressão é \displaystyle U=-\mu_{\mathrm{orb},z}\,B_{\mathrm{ext}}.\n
  • Note que \mu_{\mathrm{orb},z} é negativo (porque m_{\ell}=3 e há o sinal menos na definição). Logo o produto -\mu_{\mathrm{orb},z} será positivo. Isso muda o sinal final de U em relação ao sinal de \mu_{\mathrm{orb},z}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:\n
  • Substituindo \mu_{\mathrm{orb},z}=-2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T} e B_{\mathrm{ext}}=35\times 10^{-3}\\ \mathrm{T}:\n
U=-\mu_{\mathrm{orb},z}B_{\mathrm{ext}}=-\left(-2,78\times 10^{-23}\right)\left(35\times 10^{-3}\right).\n
  • O duplo sinal negativo dá positivo, então primeiro simplificamos o sinal:\n
U=+2,78\times 10^{-23}\times 35\times 10^{-3}\\ \mathrm{J}.\n
  • Multiplicamos as mantissas e as potências separadamente. Mantissas: 2,78\times 35=97,3. Potências: 10^{-23}\times 10^{-3}=10^{-26}.\n
  • Assim\n
U=97,3\times 10^{-26}\\ \mathrm{J}.\n
  • Ajustando para forma padrão (um único algarismo antes da vírgula): 97,3\times 10^{-26}=9,73\times 10^{-25}\\ \mathrm{J}.\n
  • Arredondando para duas casas significativas (conforme o enunciado que mostrou 9,7\times 10^{-25}\\ \mathrm{J}), obtemos\n
U=9,7\times 10^{-25}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação final do resultado (motivação para prova):\n
  • O resultado positivo U=+9,7\times 10^{-25}\\ \mathrm{J} significa que, com a convenção dada ( \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}} e m_{\ell}=3), a energia associada à orientação é positiva — isto é, a orientação do momento magnético orbital para este valor de m_{\ell} e campo escolhido resulta em energia maior do que a referência U=0 (a definição de referência depende do contexto).\n
  • Dica prática para prova: ao ver sinais, sempre calcule primeiro \mu_{\mathrm{orb},z} com cuidado (incluindo o sinal) e só então faça U=-\mu_{\mathrm{orb},z}B. Isso evita o erro de trocar o sinal no final.

Resposta

9,7\times 10^{-25}\\ \mathrm{J}

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