PENSE Este problema envolve os níveis de energia de um elétron atômico.
FORMULE A componente z do momento angular orbital de um elétron atômico é dada por
L_{\mathrm{orb}, z}=\frac{m_{\ell} h}{2 \pi}em que m_{\ell} é o número quântico magnético orbital e h é a constante de Planck. A componente z do momento dipolar magnético orbital é dada por
\mu_{\mathrm{orb}, z}=-m_{\ell} \mu_{\mathrm{B}}em que \mu_{\mathrm{B}}=e h / 4 \pi m é o magnéton de Bohr. Quando o elétron é submetido a um campo magnético externo \vec{B}_{\text {ext }}, a energia associada à orientação de \vec{\mu}_{\text {orb }} é dada por
U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B}_{\mathrm{ext}}
ANALISE (a) Para m_{\ell}=0, L_{\text {orb }, z}=m_{\ell} h / 2 \pi=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes fórmulas e informações (vou listar tudo de forma clara):
L_{\mathrm{orb},z}=\frac{m_{\ell}\,h}{2\pi}
\mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\,\mu_{\mathrm{B}}
\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e\,h}{4\pi m}
U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}}\cdot\vec{B}_{\mathrm{ext}}
A pergunta que aparece no enunciado (parte (a)) é: para m_{\ell}=0, o que acontece com L_{\mathrm{orb},z} (e, implicitamente, com \mu_{\mathrm{orb},z} e com a energia U quando o campo externo está ao longo de z)?
As quantidades relevantes que temos: m_{\ell} (número quântico magnético orbital), h (constante de Planck), e (carga do elétron), m (massa do elétron), \mu_{\mathrm{B}} (magnéton de Bohr) e \vec{B}_{\mathrm{ext}}.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular L_{\mathrm{orb},z} substituindo m_{\ell}=0 na fórmula dada. Substituo diretamente:
L_{\mathrm{orb},z}=\frac{m_{\ell}\,h}{2\pi}=\frac{0\cdot h}{2\pi}=0.
Explicando didaticamente: a fórmula diz que a componente z do momento angular orbital é quantizada em unidades de h/2\pi. A constante h e a relação \hbar=\dfrac{h}{2\pi} aparecem frequentemente; escrevendo em termos de \hbar teríamos L_{\mathrm{orb},z}=m_{\ell}\hbar. Se m_{\ell}=0, isso significa que a componente do momento angular na direção z é exatamente nula — a projeção sobre o eixo z vale zero. Isso não significa necessariamente que o momento angular total seja zero, apenas que sua projeção ao longo de z é zero.

Passo 3

Agora uso a fórmula para a componente z do momento magnético orbital:
\mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\,\mu_{\mathrm{B}}.
Substituindo m_{\ell}=0:
\mu_{\mathrm{orb},z}=-0\cdot\mu_{\mathrm{B}}=0.
A interpretação física: o elétron gera um momento magnético associado ao seu movimento orbital, e essa componente magnética ao longo de z é proporcional a m_{\ell}. Para m_{\ell}=0 não há componente magnética na direção z. O sinal negativo na fórmula vem do fato de o elétron ter carga negativa: a relação vetorial geral é \vec{\mu}_{\mathrm{orb}} = -\dfrac{e}{2m}\,\vec{L}, ou seja, o momento magnético aponta no sentido oposto ao momento angular para uma partícula com carga negativa.

Passo 4

Vamos relacionar \mu_{\mathrm{B}} com formas mais conhecidas e explicar o que significa. A definição dada é
\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e\,h}{4\pi m}.
Usando \hbar=\dfrac{h}{2\pi} vemos que
\mu_{\mathrm{B}}=\frac{e\,\hbar}{2m},
que é a forma habitual do magnéton de Bohr. Aqui: e é a magnitude da carga do elétron, m a massa do elétron, e \hbar é a constante de Planck reduzida. \mu_{\mathrm{B}} é a unidade típica de momento magnético na física atômica.

Passo 5

Agora calculo a energia de interação com o campo magnético externo. Se o campo externo está dirigido ao longo de z (caso usual para este tipo de problema), então \vec{B}_{\mathrm{ext}}=B\,\hat{z} e
U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}}\cdot\vec{B}_{\mathrm{ext}}=-\mu_{\mathrm{orb},z}\,B.
Usando a expressão alternativa que se obtém combinando as fórmulas (para qualquer m_{\ell}):
\mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}\quad\Longrightarrow\quad U=-(-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}})B=m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}B.
Para m_{\ell}=0 obtemos
U=0.
Interpretação física: o estado com m_{\ell}=0 não ganha nem perde energia ao se aplicar um campo magnético ao longo de z; ele não sofre deslocamento de energia na chamada interação de Zeeman (não contribui para o desdobramento por orientação magnética).

Passo 6

Contextualizando para que você aprenda a usar isso na prova: se o nível atômico tiver vários valores de m_{\ell} (por exemplo m_{\ell}=-1,0,1 para um subnível com l=1), então em presença de B esses três estados terão energias
U=m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}B,
ou seja, para m_{\ell}=1 temos U=+\mu_{\mathrm{B}}B, para m_{\ell}=0 temos U=0 e para m_{\ell}=-1 temos U=-\mu_{\mathrm{B}}B. A separação entre níveis adjacentes é \Delta U=\mu_{\mathrm{B}}B. Na prova, identifique sempre: 1) se o campo está ao longo de z; 2) use \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}; 3) calcule U=-\mu_{\mathrm{orb},z}B ou diretamente U=m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}B.

Resposta

L_{\mathrm{orb},z}=0
\mu_{\mathrm{orb},z}=0
U=0

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