PENSE Este problema envolve os níveis de energia de um elétron atômico.
FORMULE A componente z do momento angular orbital de um elétron atômico é dada por
L_{\mathrm{orb}, z}=\frac{m_{\ell} h}{2 \pi}em que m_{\ell} é o número quântico magnético orbital e h é a constante de Planck. A componente z do momento dipolar magnético orbital é dada por
\mu_{\mathrm{orb}, z}=-m_{\ell} \mu_{\mathrm{B}}em que \mu_{\mathrm{B}}=e h / 4 \pi m é o magnéton de Bohr. Quando o elétron é submetido a um campo magnético externo \vec{B}_{\text {ext }}, a energia associada à orientação de \vec{\mu}_{\text {orb }} é dada por
U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B}_{\mathrm{ext}}
Para m_{\ell}=3,
\mu_{o r b, z}=-m_{\ell} \mu_{B}=-(-3)\left(9,27 \times 10^{-24} \mathrm{~J} / \mathrm{T}\right)=2,78 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{T} \approx 2,8 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{T} .

Passo 1

O enunciado dá as fórmulas e um valor para calcular a componente z do momento magnético orbital. Lista das informações fornecidas e do que é pedido:
  • Fórmula para a componente z do momento angular orbital: L_{\mathrm{orb},z}=\frac{m_{\ell} h}{2\pi}.
  • Fórmula para a componente z do momento dipolar magnético orbital: \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}}, em que \mu_{\mathrm{B}}=\dfrac{e h}{4\pi m} (magnéton de Bohr).
  • Valor numérico dado para o magnéton de Bohr: \mu_{\mathrm{B}}=9,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{J/T}.
  • Valor do número quântico magnético orbital a usar: m_{\ell}=3.
  • A operação feita no enunciado apresenta um cálculo numérico de \mu_{\mathrm{orb},z} para m_{\ell}=3, que será verificado e explicado.
    O objetivo é calcular corretamente \mu_{\mathrm{orb},z} para m_{\ell}=3 (e, se for útil, relacionar com a energia U em presença de um campo magnético externo).

Passo 2

Entendendo a fórmula e os sinais (aula curta e só o necessário).
  • A fórmula \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}} diz que a componente z do momento magnético orbital é proporcional a m_{\ell} e ao magnéton de Bohr, com um sinal negativo na frente.
  • O sinal negativo aparece fisicamente porque o elétron tem carga negativa: o momento magnético fica anti-paralelo ao momento angular orbital.
  • Portanto, para um dado m_{\ell} positivo (por exemplo m_{\ell}=3), \mu_{\mathrm{orb},z} será negativo; se m_{\ell} fosse negativo, \mu_{\mathrm{orb},z} seria positivo.
    Essa explicação é importante porque no enunciado houve uma conta que trocou o sinal (usou -(-3)); aqui deixamos claro que, aplicando a fórmula diretamente, o sinal deve ser mantido.

Passo 3

Aplicando a fórmula passo a passo para \boldsymbol{m_{\ell}=3}.
  • Substituímos \mu_{\mathrm{orb},z}=-m_{\ell}\mu_{\mathrm{B}} com m_{\ell}=3:
\mu_{\mathrm{orb},z}=-3\,\mu_{\mathrm{B}}.
  • Agora substituímos o valor numérico de \mu_{\mathrm{B}} que foi dado: \mu_{\mathrm{B}}=9,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{J/T}. Assim,
\mu_{\mathrm{orb},z}=-3\cdot\left(9,27\times 10^{-24}\right)\\ \mathrm{J/T}.

Passo 4

Fazendo a multiplicação numérica explicitamente (mostrando as contas que você pode fazer sem calculadora).
  • Multiplicamos 3 por 9,27:
3\times 9,27 = 27,81.
  • Assim, em notação científica:
\mu_{\mathrm{orb},z}=-27,81\times 10^{-24}\\ \mathrm{J/T}.
  • Ajustando para a forma usual a\times 10^{n} com mantissa entre 1 e 10:
-27,81\times 10^{-24} = -2,781\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T}.
  • Arredondando sensivelmente (dois algarismos significativos, como no enunciado):
\mu_{\mathrm{orb},z}\approx -2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T}.

Passo 5

Interpretação física curta e cálculo da energia em um campo magnético externo na direção z.
  • A energia de interação entre o momento magnético orbital e um campo externo é U=-\vec{\mu}_{\mathrm{orb}}\cdot\vec{B}_{\mathrm{ext}}.
  • Se o campo externo está alinhado com o eixo z, isto é \vec{B}_{\mathrm{ext}}=B_{\mathrm{ext}}\hat{z}, então U=-\mu_{\mathrm{orb},z}\,B_{\mathrm{ext}}.
  • Substituindo \mu_{\mathrm{orb},z}=-3\mu_{\mathrm{B}} temos:
U = -(-3\mu_{\mathrm{B}})\,B_{\mathrm{ext}} = 3\mu_{\mathrm{B}}\,B_{\mathrm{ext}}.
  • Portanto, para B_{\mathrm{ext}}=1\\ \mathrm{T},
U = 3\cdot 9,27\times 10^{-24}\\ \mathrm{J} = 2,781\times 10^{-23}\\ \mathrm{J}\approx 2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades de elétron-volt (útil para ter noção da ordem de grandeza): 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim, para B_{\mathrm{ext}}=1\\ \mathrm{T},
U \approx \frac{2,78\times 10^{-23}}{1,602\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{eV}.
Isso mostra que a energia de separação por um campo de 1\\ \mathrm{T} é muito pequena (fração de mili-eV).

Resposta

\mu_{\mathrm{orb},z}=-2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/T}.
U=3\mu_{\mathrm{B}}B_{\mathrm{ext}}=2,78\times 10^{-23}\,B_{\mathrm{ext}}\\ \mathrm{J} (para B_{\mathrm{ext}} em tesla); para B_{\mathrm{ext}}=1\\ \mathrm{T}, U\approx 2,78\times 10^{-23}\\ \mathrm{J}\approx 1,74\times 10^{-4}\\ \mathrm{eV}.

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