2.5 penten 1^{3} ) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(2 x+4 y, 3 x+13 y) uma transformação linear, encontre os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y) = (2x+4y,\;3x+13y).
O que o problema pede é: encontrar os autovalores de T.
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é linear;
  • A regra de atuação em coordenadas é T(x,y)=(2x+4y,\;3x+13y).

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz em relação à base canônica de \mathbb{R}^2. A imagem de (x,y) pode ser escrita como multiplicação de matriz pela coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. A matriz associada é
A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 13\end{pmatrix},
pois
\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+4y\\[4pt] 3x+13y\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e ideia para encontrar autovalores: um escalar \lambda é autovalor de T se existe vetor não nulo v tal que
T(v)=\lambda v.
Em termos de matriz isso vira
A v = \lambda v \quad\Longrightarrow\quad (A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para existir solução não trivial para (A-\lambda I)v=0 é necessário e suficiente que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico e suas raízes são exatamente os autovalores.

Passo 4

Escrevendo A-\lambda I e calculando o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[4pt] 3 & 13-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(13-\lambda)-4\cdot 3.
Agora expandimos passo a passo:
(2-\lambda)(13-\lambda)=2\cdot13-2\lambda-13\lambda+\lambda^{2}=26-15\lambda+\lambda^{2}.
Subtraindo 4\cdot3=12 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}-15\lambda+(26-12)=\lambda^{2}-15\lambda+14.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^{2}-15\lambda+14=0.]

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro calculamos o discriminante:
\Delta = (-15)^{2}-4\cdot1\cdot14 = 225-56 = 169.
Observação: 169=13^{2}, então \sqrt{\Delta}=13. As raízes são
\lambda = \frac{15\pm13}{2}.
Calculando cada uma:
\lambda_{1}=\frac{15+13}{2}=\frac{28}{2}=14, \qquad \lambda_{2}=\frac{15-13}{2}=\frac{2}{2}=1.

Passo 6

Verificação rápida (intuição útil para prova): a soma dos autovalores deve ser a traça de A e o produto deve ser o determinante de A. Aqui
\operatorname{tr}(A)=2+13=15=\lambda_{1}+\lambda_{2},
\det(A)=2\cdot13-4\cdot3=26-12=14=\lambda_{1}\lambda_{2},
o que confirma coerência entre os autovalores encontrados.

Resposta

\lambda_{1}=14
\lambda_{2}=1

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