2.5 penten
) Seja
tal que
uma transformação linear, encontre os autovalores de
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que o problema pede é: encontrar os autovalores de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A transformação é linear;
- A regra de atuação em coordenadas é
.
Passo 2
Vamos representar
por uma matriz em relação à base canônica de
. A imagem de
pode ser escrita como multiplicação de matriz pela coluna
. A matriz associada é
pois
Passo 3
Definição e ideia para encontrar autovalores: um escalar
é autovalor de
se existe vetor não nulo
tal que
Em termos de matriz isso vira
onde
é a matriz identidade
. Para existir solução não trivial para
é necessário e suficiente que a matriz
seja singular, isto é,
A equação
chama-se polinômio característico e suas raízes são exatamente os autovalores.
Passo 4
Escrevendo
e calculando o determinante:
O determinante é
Agora expandimos passo a passo:
Subtraindo
obtemos
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro calculamos o discriminante:
Observação:
, então
. As raízes são
Calculando cada uma:
Passo 6
Verificação rápida (intuição útil para prova): a soma dos autovalores deve ser a traça de
e o produto deve ser o determinante de
. Aqui
o que confirma coerência entre os autovalores encontrados.