Seja
W=\mathcal{L}\left\{\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\} \subset \mathbb{R}^{5}
(a) ( 15 pontos) Determine uma base ortogonal de W.
(b) (15 pontos) Calcule a projeção de u=(0,1,0,0,1) sobre W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W=\mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}\subset\mathbb{R}^5
e pede duas coisas:
  • (a) determinar uma base ortogonal de W;
  • (b) calcular a projeção de u=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} sobre W^{\perp}.
Informações relevantes fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • Vetores geradores de W: v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Vetor cujo projecção em W^\perp é pedida: u=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 2

Vou construir uma base ortogonal de W usando o processo de Gram–Schmidt. Explicação didática do método:
  • Dado um conjunto linearmente independente \{v_1,\dots,v_k\}, o Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u_1,\dots,u_k por u_1=v_1,\qquad u_j = v_j -\sum_{i=1}^{j-1}\operatorname{proj}_{u_i}(v_j),onde a projeção de v sobre um vetor não nulo w é \operatorname{proj}_{w}(v)=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w.
  • Aqui \langle x,y\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^5: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^5 x_i y_i.
  • Os vetores u_j obtidos são ortogonais entre si. Podemos escalar qualquer u_j (multiplicar por constante não nula) e ainda ter uma base ortogonal — às vezes escalo para números inteiros para facilitar a conta.

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto \{v_1,v_2,v_3\}.
Primeiro:
u_1=v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Calculo \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+1^2+1^2+1^2+(-1)^2 = 5.
Agora ortogonalizo v_2 em relação a u_1.
Calculo \langle v_2,u_1\rangle:
\langle v_2,u_1\rangle = (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1) = 1.
Logo
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{1}{5}\,u_1 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Subtraindo:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} - \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{6}{5}\\[4pt]\tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{6}{5}\end{pmatrix}.
Para evitar frações e manter ortogonalidade posso multiplicar u_2 por 5 e usar
w_2 = 5\,u_2 = \begin{pmatrix}-6\\[4pt]4\\[4pt]4\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Observação: w_2 é ortogonal a u_1 porque é múltiplo de u_2. Verificação rápida:
\langle u_1,w_2\rangle = 1(-6)+1(4)+1(4)+1(4)+(-1)(6) = -6+4+4+4-6=0.]

Passo 4

Agora ortogonalizo v_3 em relação aos vetores já obtidos. Calculo os produtos internos:
Com u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot1 + (-2)\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot(-1) = 0+1-2+1+0 = 0.
Com w_2:
\langle v_3,w_2\rangle = 0\cdot(-6) + 1\cdot4 + (-2)\cdot4 + 1\cdot4 + 0\cdot6 = 0+4-8+4+0 = 0.
Como v_3 é ortogonal tanto a u_1 quanto a w_2, não é preciso subtrair projeções: podemos tomar
u_3 = v_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto os três vetores u_1, w_2, u_3 são mutuamente ortogonais.

Passo 5

Conclusão da parte (a): uma base ortogonal de W é, por exemplo,
u_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad w_2=\begin{pmatrix}-6\\\ 4\\\ 4\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix},\qquad u_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Comentário: poderia também usar u_2=\begin{pmatrix}-\tfrac{6}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{6}{5}\end{pmatrix} em vez de w_2; ambas as escolhas dão uma base ortogonal (apenas escala diferente).

Passo 6

Para a parte (b) queremos a projeção de u sobre W^\perp. Estratégia didática:
  • Primeiro calculo a projeção de u sobre W usando a base ortogonal encontrada;
  • Depois obtenho a projeção sobre W^\perp por \operatorname{proj}_{W^\perp}(u)=u-\operatorname{proj}_W(u).
Fórmula prática para \operatorname{proj}_W(u) com base ortogonal \{b_1,b_2,b_3\}:
\operatorname{proj}_W(u)=\sum_{i=1}^3 \frac{\langle u,b_i\rangle}{\langle b_i,b_i\rangle}\,b_i.

Passo 7

Calculo os produtos internos necessários (uso u_1,w_2,u_3 como base ortogonal).
Primeiro \langle u,u_1\rangle:
\langle u,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot(-1) = 1-1 = 0.
Portanto não há componente na direção u_1.
Agora \langle u,w_2\rangle:
\langle u,w_2\rangle = 0\cdot(-6) + 1\cdot4 + 0\cdot4 + 0\cdot4 + 1\cdot6 = 4+6 = 10.
E \langle w_2,w_2\rangle:
\langle w_2,w_2\rangle = (-6)^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 6^2 = 36+16+16+16+36 = 120.
Logo o componente em w_2 é
\frac{\langle u,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle} w_2 = \frac{10}{120} w_2 = \frac{1}{12}\begin{pmatrix}-6\\\ 4\\\ 4\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Agora \langle u,u_3\rangle:
\langle u,u_3\rangle = 0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot(-2) + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 1.
E \langle u_3,u_3\rangle:
\langle u_3,u_3\rangle = 0^2 + 1^2 + (-2)^2 + 1^2 + 0^2 = 1+4+1 = 6.
Então o componente em u_3 é
\frac{1}{6} u_3 = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]\tfrac{1}{6}\\[3pt]-\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{6}\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Somando os componentes não nulos (em w_2 e u_3) temos
\operatorname{proj}_W(u) = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[3pt]\tfrac{1}{6}\\[3pt]-\tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{6}\\[3pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]0\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Finalmente
\operatorname{proj}_{W^\perp}(u)=u-\operatorname{proj}_W(u) = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]0\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]0\\[3pt]-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Observação rápida de checagem: esse vetor é ortogonal a u_1,w_2,u_3 (produto interno zero), então pertence a W^\perp.]

Resposta

(a) Uma base ortogonal de W é
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}-6\\\ 4\\\ 4\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
(b) \operatorname{proj}_{W^\perp}(u)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\\[3pt]0\\[3pt]-\tfrac{1}{2}\\[3pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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