Vetor cujo projecção em W^\perp é pedida:u=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 2
Vou construir uma base ortogonal de W usando o processo de Gram–Schmidt. Explicação didática do método:
Dado um conjunto linearmente independente \{v_1,\dots,v_k\}, o Gram–Schmidt constrói vetores ortogonais u_1,\dots,u_k poru_1=v_1,\qquad u_j = v_j -\sum_{i=1}^{j-1}\operatorname{proj}_{u_i}(v_j),onde a projeção de v sobre um vetor não nulo w é\operatorname{proj}_{w}(v)=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w.
Aqui \langle x,y\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^5: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^5 x_i y_i.
Os vetores u_j obtidos são ortogonais entre si. Podemos escalar qualquer u_j (multiplicar por constante não nula) e ainda ter uma base ortogonal — às vezes escalo para números inteiros para facilitar a conta.
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt ao conjunto \{v_1,v_2,v_3\}.
Comentário: poderia também usar u_2=\begin{pmatrix}-\tfrac{6}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{4}{5}\\tfrac{6}{5}\end{pmatrix} em vez de w_2; ambas as escolhas dão uma base ortogonal (apenas escala diferente).
Passo 6
Para a parte (b) queremos a projeção de u sobre W^\perp. Estratégia didática:
Primeiro calculo a projeção de u sobre W usando a base ortogonal encontrada;
Depois obtenho a projeção sobre W^\perp por\operatorname{proj}_{W^\perp}(u)=u-\operatorname{proj}_W(u).
Fórmula prática para \operatorname{proj}_W(u) com base ortogonal \{b_1,b_2,b_3\}: