Uma pequena bola de massa m e carga elétrica q>0 está suspensa por um fio. Se a corda está em um campo elétrico uniforme, paralelo, e faz um ângulo \theta com a vertical, qual é a condição de equilíbrio quando a corda faz um ângulo \theta com a vertical? (Resposta em termos de q, m, g e \theta ).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a condição de equilíbrio quando a corda faz um ângulo \theta com a vertical, em termos de q, m, g e \theta.
Informações dadas (algumas foram obtidas da imagem enviada):
  • A partícula tem massa m e carga elétrica q>0.
  • Há um campo elétrico uniforme \mathbf{E} paralelo (na imagem aponta horizontalmente para a direita). (Esta informação foi retirada da imagem.)
  • A bola está presa por uma corda inextensível que forma um ângulo \theta com a vertical. (O ângulo \theta foi lido na imagem.)

Passo 2

Identificar as forças que atuam na bola (diagrama de corpo livre):
  • Força peso: \mathbf{P} dirigida para baixo com módulo mg.
  • Força elétrica: \mathbf{F}_e = q\mathbf{E} dirigida na mesma direção e sentido do campo (para a direita na figura), módulo qE. Porque q>0, a força elétrica é no sentido do campo.
  • Tensão do fio: \mathbf{T}, dirigida ao longo da corda, fazendo ângulo \theta com a vertical.

Passo 3

Escrever as condições de equilíbrio estático (resultante das forças igual a zero) e decompor \mathbf{T} em componentes vertical e horizontal. Usando um sistema de eixos: eixo vertical (para cima positivo) e eixo horizontal (para a direita positivo). As componentes da tensão são: componente vertical T\cos\theta (para cima) e componente horizontal T\sin\theta (para a esquerda ou direita dependendo da orientação; aqui a componente horizontal de \mathbf{T} aponta para a esquerda, equilibrando \mathbf{F}_e para a direita). Assim as equações de equilíbrio são:
\text{vertical:}\quad T\cos\theta - mg = 0,
\text{horizontal:}\quad T\sin\theta - qE = 0.

Passo 4

Resolver o sistema para eliminar T e obter a relação pedida. Da equação vertical:
T\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg}{\cos\theta}.
Substituindo na equação horizontal:
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta - qE = 0.
Simplificando \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta:
mg\tan\theta - qE = 0 \quad\Rightarrow\quad qE = mg\tan\theta.
Isolando E:
E = \frac{mg}{q}\tan\theta.
Também, como resultado útil, a tensão no fio é
T = \frac{mg}{\cos\theta}.

Passo 5

Interpretação final (rápida e motivadora): a condição de equilíbrio relaciona a força elétrica horizontal qE com o componente horizontal do peso sustentado pela tensão; para um dado ângulo \theta a intensidade do campo elétrico tem que ser exatamente E=\dfrac{mg}{q}\tan\theta. Dá pra usar isso direto na prova — respira fundo, faz devagar as componentes e sai certinho!

Resposta

qE = mg\tan\theta
E = \dfrac{mg}{q}\tan\theta

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