Uma barra retilínea é formada por três partes soldadas, feitas pelos metais 1,2 e 3 com coeficientes de dilatação linear
e
. Numa temperatura inicial
, todas as partes têm comprimentos iguais a
. a) Calcule o coeficiente de dilatação linear da barra. b) Suponha que a barra seja aquecida e que suas extremidades sejam mantidas fixas (por paredes, por exemplo). Suponha também que
. Faça um desenho mostrando as posições das marcas de solda antes e depois do aquecimento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados do enunciado:
- A barra é formada por três partes (metais) soldadas em série, numeradas 1, 2 e 3.
- Em uma temperatura inicial
, cada parte tem comprimento igual a . Ou seja, comprimentos iniciais: . - Os coeficientes de dilatação linear são
. - Em (b) a barra é aquecida (variação de temperatura
) e as extremidades da barra são mantidas fixas. Adicionalmente em (b) supõe-se .
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o coeficiente de dilatação linear efetivo da barra composta (um equivalente para a barra inteira) — isto é, encontrar
tal que a dilatação total da barra livre seja
.
(b) Com as extremidades fixas e com , fazer um desenho (ou descrever) mostrando as posições das marcas de solda antes e depois do aquecimento. (No desenho é preciso mostrar que as marcas não permanecem nas mesmas posições relativas — descrever qualitativamente onde elas vão.)
(a) Calcular o coeficiente de dilatação linear efetivo da barra composta (um
(b) Com as extremidades fixas e com
Passo 2
Conceito e fórmula básica (aulas rápidas e práticas).
- Definição: o coeficiente de dilatação linear
de um material relaciona a variação de comprimento com a variação de temperatura por
onde:
-
é a variação de comprimento (positivo se aumenta), -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura (aqui positiva para aquecimento), -
é o coeficiente de dilatação linear do material. -
Para um segmento
com comprimento inicial e coeficiente , se estiver livre (sem restrição) ao aquecimento , sua dilatação seria
Vou usar essa fórmula direta para somar as dilatações dos três segmentos quando a barra estiver livre (parte (a)).
Passo 3
Resolvendo (a): dilatação total livre e coeficiente efetivo.
- Comprimento inicial total da barra:
- Dilatação livre de cada parte:
- Dilatação total livre (somando as três):
- Definição do coeficiente efetivo
tal que
substituindo
obtemos
- Cancelando
(assumindo ):
Comentário pedagógico: isso é intuitivo — o coeficiente efetivo da barra em série com comprimentos iguais é a média aritmética dos
dos segmentos.
Passo 4
Preparação para (b): como lidar com extremidades fixas (noções físicas e hipóteses necessárias).
- Quando as extremidades são mantidas fixas, a barra como um todo não pode alterar seu comprimento total: a soma das variações de comprimento reais dos três segmentos é zero:
- Cada segmento sofre duas contribuições à sua deformação longitudinal:
- Deformação térmica livre:
. - Deformação mecânica (elástica) causada por tensões internas:
, onde é a tensão axial no segmento e é o módulo de Young do material .
- Deformação térmica livre:
- Para barras soldadas em série sob carga axial, a força axial
(ou tensão vezes área) é a mesma em toda a seção transversal se a área é comum. Para simplificar (e porque o enunciado não forneceu nem áreas), adotaremos a hipótese usual em exercícios elementares: - seções transversais iguais e hipóteses que tornam as tensões compatíveis de forma simples, assumimos módulos
iguais ou tratamos o caso qualitativo. Aqui vou assumir, para obter fórmulas explícitas, que os três segmentos têm a mesma área e o mesmo módulo de Young . (Isso é uma hipótese pedagógica comum; se os fossem diferentes faria o raciocínio técnico análogo mas com aparecendo nas fórmulas.)
- seções transversais iguais e hipóteses que tornam as tensões compatíveis de forma simples, assumimos módulos
- Sob essa hipótese, a tensão axial
é a mesma em todos os segmentos (equilíbrio de forças) e a deformação mecânica é a mesma em todos: .
Passo 5
Cálculo formal das variações de comprimento com extremidades fixas (continuação).
- A deformação total no segmento
é
- A variação de comprimento do segmento
vale
- Condição de extremidades fixas:
Substituindo as expressões:
- Isolando
:
Observação: o sinal negativo indica que a deformação mecânica é compressiva no caso de aquecimento (
) quando a média dos
é positiva — isto é, aparece uma tensão compressiva para impedir a expansão total.
- Agora a variação de comprimento real de cada segmento é
onde definimos a média
(o mesmo resultado do item (a)).
Portanto, cada segmento cresce ou encolhe em relação ao seu comprimento inicial conforme a diferença entre seu
e a média
:
- se
então (o segmento aumenta de comprimento apesar da fixação das extremidades, empurrando os vizinhos); - se
então (o segmento efetivamente encurta, comprimido pelos vizinhos).
Passo 6
Aplicando a fórmula ao caso específico
e interpretando geometricamente (desenho pedido).
- Para simplificar, chame
e , com . - A média é
- Para os segmentos 1 e 3:
porque
. Logo os segmentos 1 e 3 aumentam de comprimento (empurram para dentro).
- Para o segmento 2:
porque
. Logo o segmento do meio encolhe (é comprimido).
- Posições das marcas de solda:
- Inicialmente (a
) as marcas estão em medidas a partir da extremidade esquerda (fixa). - Depois do aquecimento (com extremidades fixas), as posições finais são
- Inicialmente (a
-
Para o caso simétrico
, a configuração final será simétrica em relação ao centro: a primeira solda se desloca para a direita (em relação à posição inicial) e a segunda solda se desloca para a esquerda, ou seja, as duas marcas aproximam-se entre si. O segmento 2 fica mais curto; os segmentos 1 e 3 ficam mais longos. -
Descrição do desenho pedido (como fazer no caderno):
- Desenhe a barra horizontal com marcas de solda em
e . - Ao lado, desenhe a barra com as extremidades nas mesmas posições (fixas) mas com as duas marcas internas mais próximas entre si: a marca à esquerda deslocada para a direita e a marca à direita deslocada para a esquerda. Indique que o segmento central encolheu e os dois externos alongaram-se. Indique também que as tensões internas são compressivas (reação das paredes) que resultam nas deformações descritas.
- Desenhe a barra horizontal com marcas de solda em
Comentário de incentivo: isso pode parecer estranho à primeira vista (um pedaço “encolher” apesar do aquecimento), mas é exatamente o efeito dos diferentes coeficientes e da condição de extremidades fixas — os pedaços que querem se expandir mais empurram o médio, que resulta comprimido e encurta no equilíbrio elástico.
Resposta
As marcas de solda aproximam-se: para
os segmentos 1 e 3 têm
(alongam) e o segmento 2 tem
(encurta). Assim a marca em
move-se para a direita e a marca em
move-se para a esquerda, fazendo com que as duas marcas fiquem mais próximas.