Uma barra retilínea é formada por três partes soldadas, feitas pelos metais 1,2 e 3 com coeficientes de dilatação linear \alpha_{1}, \alpha_{2} e \alpha_{3}. Numa temperatura inicial T_{0}, todas as partes têm comprimentos iguais a L_{0}. a) Calcule o coeficiente de dilatação linear da barra. b) Suponha que a barra seja aquecida e que suas extremidades sejam mantidas fixas (por paredes, por exemplo). Suponha também que \alpha_{1}=\alpha_{3} \gg \alpha_{2}. Faça um desenho mostrando as posições das marcas de solda antes e depois do aquecimento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados do enunciado:
  • A barra é formada por três partes (metais) soldadas em série, numeradas 1, 2 e 3.
  • Em uma temperatura inicial T_{0}, cada parte tem comprimento igual a L_{0}. Ou seja, comprimentos iniciais: L_{1}=L_{2}=L_{3}=L_{0}.
  • Os coeficientes de dilatação linear são \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}.
  • Em (b) a barra é aquecida (variação de temperatura \Delta T>0) e as extremidades da barra são mantidas fixas. Adicionalmente em (b) supõe-se \alpha_{1}=\alpha_{3}\gg\alpha_{2}.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o coeficiente de dilatação linear efetivo da barra composta (um \alpha equivalente para a barra inteira) — isto é, encontrar \alpha_{\text{barra}} tal que a dilatação total da barra livre seja \Delta L_{\text{total}}=\alpha_{\text{barra}}(3L_{0})\Delta T.
(b) Com as extremidades fixas e com \alpha_{1}=\alpha_{3}\gg\alpha_{2}, fazer um desenho (ou descrever) mostrando as posições das marcas de solda antes e depois do aquecimento. (No desenho é preciso mostrar que as marcas não permanecem nas mesmas posições relativas — descrever qualitativamente onde elas vão.)

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aulas rápidas e práticas).
  • Definição: o coeficiente de dilatação linear \alpha de um material relaciona a variação de comprimento com a variação de temperatura por
\Delta L=\alpha L\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (positivo se aumenta),
  • L é o comprimento inicial,
  • \Delta T é a variação de temperatura (aqui positiva para aquecimento),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • Para um segmento i com comprimento inicial L_{0} e coeficiente \alpha_{i}, se estiver livre (sem restrição) ao aquecimento \Delta T, sua dilatação seria
\Delta L_{i}^{\text{livre}}=\alpha_{i}L_{0}\,\Delta T.
Vou usar essa fórmula direta para somar as dilatações dos três segmentos quando a barra estiver livre (parte (a)).

Passo 3

Resolvendo (a): dilatação total livre e coeficiente efetivo.
  • Comprimento inicial total da barra:
L_{\text{total},0}=L_{1}+L_{2}+L_{3}=3L_{0}.
  • Dilatação livre de cada parte:
\Delta L_{1}^{\text{livre}}=\alpha_{1}L_{0}\Delta T,\qquad \Delta L_{2}^{\text{livre}}=\alpha_{2}L_{0}\Delta T,\qquad \Delta L_{3}^{\text{livre}}=\alpha_{3}L_{0}\Delta T.
  • Dilatação total livre (somando as três):
\Delta L_{\text{total}}^{\text{livre}}=\bigl(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\bigr)L_{0}\Delta T.
  • Definição do coeficiente efetivo \alpha_{\text{barra}} tal que
\Delta L_{\text{total}}^{\text{livre}}=\alpha_{\text{barra}}\;L_{\text{total},0}\;\Delta T
substituindo L_{\text{total},0}=3L_{0} obtemos
\bigl(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\bigr)L_{0}\Delta T = \alpha_{\text{barra}}\,(3L_{0})\Delta T.
  • Cancelando L_{0}\Delta T (assumindo \Delta T\neq0):
\alpha_{\text{barra}}=\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}}{3}.
Comentário pedagógico: isso é intuitivo — o coeficiente efetivo da barra em série com comprimentos iguais é a média aritmética dos \alpha dos segmentos.

Passo 4

Preparação para (b): como lidar com extremidades fixas (noções físicas e hipóteses necessárias).
  • Quando as extremidades são mantidas fixas, a barra como um todo não pode alterar seu comprimento total: a soma das variações de comprimento reais dos três segmentos é zero:
\Delta L_{1}+\Delta L_{2}+\Delta L_{3}=0.
  • Cada segmento sofre duas contribuições à sua deformação longitudinal:
    1. Deformação térmica livre: \alpha_{i}\Delta T.
    2. Deformação mecânica (elástica) causada por tensões internas: \varepsilon_{\text{mec},i}=\dfrac{\sigma_{i}}{E_{i}}, onde \sigma_{i} é a tensão axial no segmento i e E_{i} é o módulo de Young do material i.
  • Para barras soldadas em série sob carga axial, a força axial N (ou tensão vezes área) é a mesma em toda a seção transversal se a área é comum. Para simplificar (e porque o enunciado não forneceu E nem áreas), adotaremos a hipótese usual em exercícios elementares:
    • seções transversais iguais e hipóteses que tornam as tensões compatíveis de forma simples, assumimos módulos E iguais ou tratamos o caso qualitativo. Aqui vou assumir, para obter fórmulas explícitas, que os três segmentos têm a mesma área A e o mesmo módulo de Young E. (Isso é uma hipótese pedagógica comum; se os E_{i} fossem diferentes faria o raciocínio técnico análogo mas com E_{i} aparecendo nas fórmulas.)
  • Sob essa hipótese, a tensão axial \sigma é a mesma em todos os segmentos (equilíbrio de forças) e a deformação mecânica é a mesma em todos: \varepsilon_{\text{mec}}=\sigma/E.

Passo 5

Cálculo formal das variações de comprimento com extremidades fixas (continuação).
  • A deformação total no segmento i é
\varepsilon_{i}=\alpha_{i}\Delta T+\frac{\sigma}{E}.
  • A variação de comprimento do segmento i vale
\Delta L_{i}=L_{0}\,\varepsilon_{i}=L_{0}\left(\alpha_{i}\Delta T+\frac{\sigma}{E}\right).
  • Condição de extremidades fixas:
\Delta L_{1}+\Delta L_{2}+\Delta L_{3}=0.
Substituindo as expressões:
L_{0}\Bigl((\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})\Delta T + 3\frac{\sigma}{E}\Bigr)=0.
  • Isolando \sigma/E:
\frac{\sigma}{E}=-\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}}{3}\,\Delta T.
Observação: o sinal negativo indica que a deformação mecânica é compressiva no caso de aquecimento ( \Delta T>0) quando a média dos \alpha é positiva — isto é, aparece uma tensão compressiva para impedir a expansão total.
  • Agora a variação de comprimento real de cada segmento é
\Delta L_{i}=L_{0}\left(\alpha_{i}\Delta T - \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}}{3}\Delta T\right) = L_{0}\bigl(\alpha_{i}-\bar\alpha\bigr)\Delta T,
onde definimos a média
\bar\alpha=\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}}{3}
(o mesmo resultado do item (a)).
Portanto, cada segmento cresce ou encolhe em relação ao seu comprimento inicial conforme a diferença entre seu \alpha_{i} e a média \bar\alpha:
  • se \alpha_{i}>\bar\alpha então \Delta L_{i}>0 (o segmento aumenta de comprimento apesar da fixação das extremidades, empurrando os vizinhos);
  • se \alpha_{i}<\bar\alpha então \Delta L_{i}<0 (o segmento efetivamente encurta, comprimido pelos vizinhos).

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso específico \alpha_{1}=\alpha_{3}\gg\alpha_{2} e interpretando geometricamente (desenho pedido).
  • Para simplificar, chame \alpha_{1}=\alpha_{3}=\alpha_{\text{grande}} e \alpha_{2}=\alpha_{\text{pequeno}}, com \alpha_{\text{grande}}\gg\alpha_{\text{pequeno}}.
  • A média é
\bar\alpha=\frac{2\alpha_{\text{grande}}+\alpha_{\text{pequeno}}}{3}.
  • Para os segmentos 1 e 3:
\Delta L_{1}=\Delta L_{3}=L_{0}\bigl(\alpha_{\text{grande}}-\bar\alpha\bigr)\Delta T >0
porque \alpha_{\text{grande}}>\bar\alpha. Logo os segmentos 1 e 3 aumentam de comprimento (empurram para dentro).
  • Para o segmento 2:
\Delta L_{2}=L_{0}\bigl(\alpha_{\text{pequeno}}-\bar\alpha\bigr)\Delta T <0
porque \alpha_{\text{pequeno}}<\bar\alpha. Logo o segmento do meio encolhe (é comprimido).
  • Posições das marcas de solda:
    • Inicialmente (a T_{0}) as marcas estão em x_{1}^{(0)}=L_{0},\qquad x_{2}^{(0)}=2L_{0}medidas a partir da extremidade esquerda (fixa).
    • Depois do aquecimento (com extremidades fixas), as posições finais são x_{1}^{(\text{f})}=L_{0}+\Delta L_{1}=L_{0}+L_{0}\bigl(\alpha_{\text{grande}}-\bar\alpha\bigr)\Delta T,
x_{2}^{(\text{f})}=2L_{0}+\Delta L_{1}+\Delta L_{2} =2L_{0}+L_{0}\bigl(\alpha_{\text{grande}}-\bar\alpha\bigr)\Delta T +L_{0}\bigl(\alpha_{\text{pequeno}}-\bar\alpha\bigr)\Delta T.
  • Para o caso simétrico \alpha_{1}=\alpha_{3}, a configuração final será simétrica em relação ao centro: a primeira solda se desloca para a direita (em relação à posição inicial) e a segunda solda se desloca para a esquerda, ou seja, as duas marcas aproximam-se entre si. O segmento 2 fica mais curto; os segmentos 1 e 3 ficam mais longos.
  • Descrição do desenho pedido (como fazer no caderno):
    • Desenhe a barra horizontal com marcas de solda em x=L_{0} e x=2L_{0}.
    • Ao lado, desenhe a barra com as extremidades nas mesmas posições (fixas) mas com as duas marcas internas mais próximas entre si: a marca à esquerda deslocada para a direita e a marca à direita deslocada para a esquerda. Indique que o segmento central encolheu e os dois externos alongaram-se. Indique também que as tensões internas são compressivas (reação das paredes) que resultam nas deformações descritas.
Comentário de incentivo: isso pode parecer estranho à primeira vista (um pedaço “encolher” apesar do aquecimento), mas é exatamente o efeito dos diferentes coeficientes e da condição de extremidades fixas — os pedaços que querem se expandir mais empurram o médio, que resulta comprimido e encurta no equilíbrio elástico.

Resposta

\displaystyle \alpha_{\text{barra}}=\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}}{3}
As marcas de solda aproximam-se: para \alpha_{1}=\alpha_{3}\gg\alpha_{2} os segmentos 1 e 3 têm \Delta L_{1}=\Delta L_{3}=L_{0}(\alpha_{1}-\bar\alpha)\Delta T>0 (alongam) e o segmento 2 tem \Delta L_{2}=L_{0}(\alpha_{2}-\bar\alpha)\Delta T<0 (encurta). Assim a marca em x=L_{0} move-se para a direita e a marca em x=2L_{0} move-se para a esquerda, fazendo com que as duas marcas fiquem mais próximas.

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