Considere o operador
A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
(a) Determine seus autovalores.
(b) Determine os autovetores normalizados.

Passo 1

O enunciado dá a matriz do operador linear A e pede duas coisas:
  • (a) determinar os autovalores de A;
  • (b) determinar os autovetores normalizados correspondentes.
Informações relevantes fornecidas:
A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right).

Passo 2

Definição e método: um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Isto é equivalente ao sistema linear
(A-\lambda I)v=0,
que tem solução não-trivial exatamente quando o determinante de A-\lambda I é zero. Portanto vamos calcular o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Explico rapidamente: I é a matriz identidade 2\times2. Subtrair \lambda I de A significa subtrair \lambda nas entradas da diagonal principal.

Passo 3

Calcular A-\lambda I e seu determinante:
A-\lambda I = \left(\begin{array}{cc} -\lambda & 1\\[4pt] 1 & -\lambda \end{array}\right).
O determinante de uma matriz 2\times2 \left(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\right) é ad-bc. Aplicando:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1=\lambda^{2}-1.
Igualando a zero obtemos o polinômio característico
\lambda^{2}-1=0.
Resolve-se como equação de segundo grau simples:
\lambda^{2}=1\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.
Portanto os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1.]

Passo 4

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=1. Devemos resolver
(A-I)v=0,\qquad v=\left(\begin{array}{c}x\\[2pt]y\end{array}\right).
Escrevendo a matriz:
A-I=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{array}\right).
O sistema linear correspondente é
- x + y = 0,
x - y = 0.
As duas equações são equivalentes e implicam y=x. Assim os vetores próprios são todos os múltiplos escalares do vetor \left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right). Em outras palavras, qualquer vetor da forma
v = t\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\right),\qquad t\neq 0,
é um autovetor associado a \lambda=1.]

Passo 5

Agora os autovetores para \lambda=-1. Resolvendo
(A+I)v=0,
temos
A+I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 \end{array}\right),
e o sistema
x + y = 0,
x + y = 0.
Isso implica y=-x. Logo os autovetores são todos os múltiplos de \left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right), isto é
v = t\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]-1\end{array}\right),\qquad t\neq 0.]

Passo 6

Normalização: explicar e aplicar. Para normalizar um vetor significa torná-lo de comprimento (norma) igual a 1 usando a norma euclidiana usual. A norma de um vetor v=\left(\begin{smallmatrix}x\\[2pt]y\end{smallmatrix}\right) é
\|v\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para v_{+}=\left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right) temos
\|v_{+}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Então o vetor normalizado é
\frac{1}{\|v_{+}\|}v_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\right).
Para v_{-}=\left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right) a norma também é
\|v_{-}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2},
portanto o vetor normalizado é
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]-1\end{array}\right).]

Passo 7

Observação útil (rápida e motivadora): A é simétrica (igual à sua transposta), e para matrizes simétricas autovalores reais e autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Aqui de fato
\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]-1\end{array}\right)=1\cdot1+1\cdot(-1)=0,
confirmando que os autovetores normalizados formam uma base ortonormal.]

Resposta

(a) \lambda=1,\\ \lambda=-1
(b) Para \lambda=1: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\right)
Para \lambda=-1: \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]-1\end{array}\right)]

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