As duas equações são equivalentes e implicam y=x. Assim os vetores próprios são todos os múltiplos escalares do vetor \left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right). Em outras palavras, qualquer vetor da forma
v = t\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\end{array}\right),\qquad t\neq 0,
Isso implica y=-x. Logo os autovetores são todos os múltiplos de \left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right), isto é
v = t\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]-1\end{array}\right),\qquad t\neq 0.]
Passo 6
Normalização: explicar e aplicar. Para normalizar um vetor significa torná-lo de comprimento (norma) igual a 1 usando a norma euclidiana usual. A norma de um vetor v=\left(\begin{smallmatrix}x\\[2pt]y\end{smallmatrix}\right) é
\|v\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para v_{+}=\left(\begin{smallmatrix}1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right) temos
Observação útil (rápida e motivadora): A é simétrica (igual à sua transposta), e para matrizes simétricas autovalores reais e autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Aqui de fato