Uma pequena caixa de massa
tem velocidade
quando ela passa pelo topo de um semi-cilindro cuja superfície não tem atrito. Usando a segunda lei de Newton e o princípio de conservação da energia:
a) Mostre que a aceleração radial quando ela passa pelo ponto
é dada por:
b) Mostre que a força normal à superfície no ponto
é dada por:
c) Mostre que a partícula perde contato com a superfície para um ângulo:
a) Mostre que a aceleração radial quando ela passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede.
Temos uma caixinha de massa deslizando numa “meia-cana” (um semi-cilindro) sem atrito. No topo (ponto
) ela passa com velocidade
Temos uma caixinha de massa
Queremos, num ponto genérico
que faz ângulo
em relação ao topo, mostrar:
a) a aceleração radial (centrípeta)
a) a aceleração radial (centrípeta)
b) a força normal
e c) achar o ângulo em que ela perde contato,
.
Para isso vamos usar dois pilares: conservação de energia (para achar ) e a 2ª lei de Newton na direção radial (para achar
).
Para isso vamos usar dois pilares: conservação de energia (para achar
Passo 2
Determinar
e daí
.
- Conservação de energia (sem atrito):
Energia em: energia em : Como é o topo e medido do centro, a queda de altura é
.
Igualando, o ganho de cinética é .
Já que, - Aceleração radial (centrípeta) vale
Passo 3
Calcular a força normal
em
.
Na direção radial (para dentro do cilindro) a 2ª lei de Newton diz:
Na direção radial (para dentro do cilindro) a 2ª lei de Newton diz:
Fz importantes:
- componente radial do peso (apontando para dentro) é
. - a normal
aponta para fora, ou seja, é negativa se pensarmos “para dentro” como positivo.
Logo, tomando positivo para dentro:
Substituindo
:
Passo 4
Determinar o ângulo de perda de contato.
A perda de contato ocorre quando . Então
A perda de contato ocorre quando
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)