Uma pequena caixa de massa m tem velocidade vA=raizg r / 4 quando ela passa pelo topo de um semi-cilindro cuja superfície não tem atrito. Usando a segunda lei de Newton e o princípio de conservação da energia:
a) Mostre que a aceleração radial quando ela passa pelo ponto B é dada por:
aB=g(94-2 cos theta)
b) Mostre que a força normal à superfície no ponto B é dada por:
N=m g(3 cos theta-94)
c) Mostre que a partícula perde contato com a superfície para um ângulo:
theta=arccos (3 / 4)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede.
Temos uma caixinha de massa vA = raizg,r4 deslizando numa “meia-cana” (um semi-cilindro) sem atrito. No topo (ponto aB = gl(tfrac94 - 2costhetar), ) ela passa com velocidade
N = m,gl(3costheta - tfrac94r),
Queremos, num ponto genérico que faz ângulo em relação ao topo, mostrar:
a) a aceleração radial (centrípeta)
b) a força normal
e c) achar o ângulo em que ela perde contato, .
Para isso vamos usar dois pilares: conservação de energia (para achar ) e a 2ª lei de Newton na direção radial (para achar ).

Passo 2

Determinar EA = tfrac12m vA^2 + mghA, e daí EB = tfrac12m vB^2 + mghB .
  1. Conservação de energia (sem atrito):
    Energia em tfrac12m vB^2 = tfrac12m,g,r4 + mg,r(1-costheta) ;;Longrightarrow;; vB^2 = g,rl(tfrac14 + 2(1-costheta)r) = g,rl(tfrac94 - 2costhetar) : aB = vB^2r = gl(tfrac94 - 2costhetar) energia em : Como é o topo e medido do centro, a queda de altura é
    .
    Igualando , o ganho de cinética é .
    Já que ,
  2. Aceleração radial (centrípeta) vale

Passo 3

Calcular a força normal sum Frm radiais = m,arm radiais em m,aB = m,vB^2r = m,gcostheta - N ;;Longrightarrow;; N = m,gcostheta - m,aB .
Na direção radial (para dentro do cilindro) a 2ª lei de Newton diz:
N = m,gcostheta - m,gl(tfrac94 - 2costhetar) = m,gl(3costheta - tfrac94r)
Fz importantes:
  • componente radial do peso (apontando para dentro) é .
  • a normal aponta para fora, ou seja, é negativa se pensarmos “para dentro” como positivo.
    Logo, tomando positivo para dentro:
Substituindo :

Passo 4

Determinar o ângulo de perda de contato.
A perda de contato ocorre quando 0 = m,gl(3costheta - tfrac94r) ;;Longrightarrow;; 3costheta = tfrac94 ;;Longrightarrow;; costheta = tfrac34 ;;Longrightarrow;; theta = arccos!l(tfrac34r) . Então

Resposta

a)
b)
c)

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