Uma pequena esfera de massa
é suspensa por um elástico de comprimento
e constante elástica
. Ela é abandonada do repouso no ponto A, a uma altura
do solo, e para imediatamente antes de tocá-lo. Com estas informações, mostre que o comprimento
pode ser escrito como:
Passo 1
Beleza, exercício diz o seguinte: temos uma esfera de massa m presa a um elástico de constante k e comprimento “natural” L. Ela parte do repouso de um ponto A que está a uma altura H do chão e, quando chega no ponto mais baixo, para bem antes de tocar o chão.
Conteúdo envolvido: conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional → energia elástica) e Lei de Hooke (Eelástica = (1/2)k x²). Vamos usar isso pra relacionar H, m, g, k e o comprimento L do elástico.
Conteúdo envolvido: conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional → energia elástica) e Lei de Hooke (Eelástica = (1/2)k x²). Vamos usar isso pra relacionar H, m, g, k e o comprimento L do elástico.
Passo 2
Quando a esfera cai da altura H até o ponto mais baixo, ela perde
Ep grav = m g H.
Essa energia toda vira energia elástica guardada no elástico:
Eel = ½ k x²,
onde x é o quanto o elástico esticou além de seu comprimento L.
Ep grav = m g H.
Essa energia toda vira energia elástica guardada no elástico:
Eel = ½ k x²,
onde x é o quanto o elástico esticou além de seu comprimento L.
Passo 3
Conservação de energia:
m g H = ½ k x².
m g H = ½ k x².
Passo 4
Agora, qual é x (o estiramento)?
Inicialmente o elástico tinha comprimento L e, no final, o comprimento total do elástico é o que resta entre o ponto fixo e o chão, que é exatamente H abaixo de A. Logo o elástico esticou
x = H – L.
Inicialmente o elástico tinha comprimento L e, no final, o comprimento total do elástico é o que resta entre o ponto fixo e o chão, que é exatamente H abaixo de A. Logo o elástico esticou
x = H – L.
Passo 5
Substituindo na energia:
m g H = ½ k (H – L)²
⟹ (H – L)² = (2 m g H) / k
⟹ H – L = √(2 m g H / k) (escolhemos o sinal positivo porque H > L)
⟹ L = H – √(2 m g H / k).
m g H = ½ k (H – L)²
⟹ (H – L)² = (2 m g H) / k
⟹ H – L = √(2 m g H / k) (escolhemos o sinal positivo porque H > L)
⟹ L = H – √(2 m g H / k).