Questão 2 (08 pontos) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) y^3 arctg xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
y^3,arctan(x)x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares e uma estimativa para arctan.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetainR. Assim
y^3 = r^3sin^3theta, x^2+y^2=r^2,
e a expressão fica
y^3,arctan(x)x^2+y^2 = r^3sin^3theta;arctanl(rcosthetar)r^2 = r,sin^3theta;arctanl(rcosthetar)

Passo 3

Para fazer a cota, usamos que para todo uinR vale
|arctan(u)| <= |u|
Aqui u = rcostheta, logo
l|arctanl(rcosthetar)r| <= r,|costheta|
Substituindo em r,l|sin^3thetar|;l|arctan(rcostheta)r| obtemos
| r,sin^3theta;arctanl(rcosthetar) | <= r,l|sin^3thetar|;(r,|costheta|) = r^2,|sin^3theta,costheta|

Passo 4

Como |sin^3theta,costheta|<=1, temos
| y^3,arctan(x)x^2+y^2 | <= r^2
Quando rto0, r^2to0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), o limite da nossa função é zero.

Resposta

0

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