Uma pequena esfera, P, carregada positivamente, está fixa e isolada numa região onde o valor da aceleração da gravidade é g. Uma outra pequena esfera, Q , também eletricamente carregada, é levada para as proximidades de P. Há duas posições, a certa distância d de P, onde pode haver equilíbrio entre a força peso atuando em Q e a força elétrica exercida por P sobre Q . O equilíbrio ocorre numa ou noutra posição, dependendo do sinal da carga de Q. Despreze a força gravitacional entre as esferas.
Suponha que a esfera Q seja trazida, a partir de qualquer uma das duas posições de equilíbrio, para mais perto de P , até ficar à distância d / 2 desta, e então abandonada nessa nova posição. Determine, exclusivamente em termos de g, o módulo da aceleração da esfera Q no instante em que ela é abandonada.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas pequenas esferas:
  • P (positiva e fixa),
  • Q (com carga de sinal indeterminado), sujeita à gravidade (mg para baixo) e à força elétrica de P.
Elas ficam em equilíbrio a uma distância d de P porque a força elétrica (atrativa ou repulsiva) compensa o peso de Q.
Depois, trazemos Q para uma nova posição a d/2 e soltamos. Precisamos achar a aceleração de Q imediatamente após soltar, só em função de g.
Conteúdo envolvido:
  • Lei de Coulomb (força elétrica ),
  • Força peso ( ),
  • Segunda lei de Newton ( ).

Passo 2

Vamos primeiro escrever o equilíbrio em FE(d)=k,|qP,qQ|d^2 . Naquelas posições:
Frm peso=m,g .
Pela Lei de Coulomb, o módulo da força elétrica é
k,|qP,qQ|d^2=m,g Longrightarrow k,|qP,qQ|=m,g,d^2
e a força peso é
Então, em equilíbrio:

Passo 3

Agora, calculamos a força elétrica em FEl(d/2r) =k,|qP,qQ|(d/2)^2 =k,|qP,qQ|d^2/4 =4,k,|qP,qQ|d^2 =4,m,g :
Ou seja, na nova posição a força elétrica vale .

Passo 4

Na hora de soltar, há duas forças em Q:
  1. A força elétrica (direção para longe de P).
  2. O peso Frm net=4,m,g - m,g=3,m,g (para baixo).
Se Q estava acima de P e é positiva, a força elétrica aponta para cima; se Q estava abaixo e é negativa, a atração também aponta para cima. Em ambos os casos, a componente da força elétrica é “para cima” com módulo a=Frm netm=3,g , enquanto o peso é “para baixo” com módulo .
Logo, a força resultante (para cima) é
Pela segunda lei de Newton, a aceleração é

Resposta

A aceleração da esfera Q, no instante em que for abandonada a boxeda=3g , tem módulo

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